Обозначение, запись и изображение числовых множеств.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

«Корни квадратного уравнения» - Франсуа Виет. Определение квадратного уравнения. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Алгебра 8 класс. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причем a?0.

«Решение уравнений с модулем» - Самостоятельная работа. Создание комфортного темпа работы для каждого ученика. Применение полученных знаний и умения в нестандартных ситуациях. Использование свойств модуля. Решение уравнений с модулем по заданному алгоритму. Закрепление решения уравнений, содержащих несколько модулей. Красивейшие уравнения.

«Числовые выражения» - Не решая уравнение определи, чему равен х. Реши задачу, составляя выражение. Распределительный закон: Составь выражение по рисунку и найди его значение. Вычисли удобным способом. Составь по рисунку уравнение и реши его. Задача. Решите задачу составив уравнение. Повторим законы сложения и умножения. Сочетательные свойства:

«Теорема Виета» - Виет ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. Теорема Виета. Укажите в квадратном уравнении х?+3-4х=0 второй коэффициент. Интерес Виета к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Виету принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

«Показательные неравенства» - Решение простейших показательных неравенств. Простейшие показательные неравенства. Решение показательных неравенств. Решение неравенства. Решите неравенство. Что нужно учесть при решении простейших показательных неравенств? Знак неравенства. Решение простейших показательных неравенств. Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством.

«Свойства степени» - Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. «Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь» М.В.Ломоносов. Тест. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Физминутка. Куб какого числа равен 64?

Всего в теме 8 презентаций

Цели урока:

Оборудование:

1. Таблицы “Графики функций”;
2. Карточки-задания “Графики функций”;
3. Материалы для создания отчётов по мини-проектам (листы формата А2, фломастеры, чертёжные инструменты).

Приветствие учащихся, приглашение к сотрудничеству, к совместному творчеству.

Вопросы классу:

1. Что такое функция?
2. С какими функциями мы уже знакомы?
3. Что вы знаете о функциях?
4. Что значит исследовать функцию?
5. По каким параметрам мы исследуем функции?

Самостоятельная работа:

Описать свойства функции, используя её график.

Вариант 1

Вариант 2

(Используются таблицы, на обратной стороне которых записаны правильные ответы другого варианта. Ученики работают по вариантам, 2 ученика работают на обороте “крылышек”, имея мини-таблицы (карточки). Проверка осуществляется следующим образом: открыть ответы на “крыле” доски и ответы на плакате, вызвать ещё одного ученика, который озвучит записи в своей тетради, и сравнить ответы двух учащихся. Ученики в классе меняются тетрадями и выполняют взаимопроверку.)

При проверке результатов работы повторяются следующие вопросы:

• понятие функции;
• возрастание (убывание) функции;
• понятие симметричного множества;
• чётность (нечётность) функции.

Рассмотрим следующее уравнение:

2 – 2х = (х+2) 3 + 3 (*).

Предложите свои идеи решения этой задачи.

(В ходе дискуссии учащиеся приходят к мнению, что уравнение лучше решать графически, но для этого необходимо уметь строить график функции у=х 3)

Таким образом, нужно знать какая линия является графиком функции у=х 3 .Сегодня на уроке мы рассмотрим функции вида у=х n , n Z.

(Записать на доске и в тетрадях тему урока ).

Вопросы: Как можно назвать эту функцию? (степенная ).

С какими из степенных функций мы уже знакомы? (у=х, у=х 2 ).

Какие функции предстоит изучить? (у=х 3 , у=х 4 , у=х 5 , и т.д. ).

Ранее мы уже встречались с этими функциями при исследовании их на чётность. Какие же из данных функций чётные, а какие – нечётные?

Вспомните, как используется чётность или нечётность функции при построении её графика? (Нужно построить часть графика при х>0 и достроить при х<0, используя осевую или центральную симметрию. )

Каждая группа представляет классу свой проект – график функции и описание её свойств. (I и II группы описывают свойства полностью, а каждая последующая ищет сходство и различия в свойствах.)

Представляется также решение уравнения (*).

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой x= –1. Проверка показывает, что x= –1 является корнем уравнения (*).

1. Выясните монотонность функций у=2–2х и у=(х–2) 3 +3.
2. Сколько корней имеет уравнение (*)?
3. Можете ли вы выдвинуть какую-либо гипотезу относительно решения уравнения f(x)=g(x), где f(x) – возрастающая, а g(x) – убывающая функции?

Итак, какие же новые знания вы приобрели на сегодняшнем уроке?..

В дальнейшем мы продолжим рассмотрение свойств данных функций применительно к решению алгебраических и прикладных задач.

В качестве домашнего задания предлагается прочесть соответствующий пункт в учебнике, выполнить построение графиков и исследование свойств тех функций, с которыми не работали в классе.

В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия

Математические обозначения это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского),… … Википедия

Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия

Юникод, или Уникод (англ. Unicode) стандарт кодирования символов, позволяющий представить знаки практически всех письменных языков. Стандарт предложен в 1991 году некоммерческой организацией «Консорциум Юникода» (англ. Unicode Consortium,… … Википедия

Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия

Или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения в… … Википедия

Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия