Дискретная случайная величина х имеет закон распределения вероятностей. Закон распределения случайной величины
На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах . Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.
Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.
Примеры для популярных законов распределения вероятностей:
Калькуляторы на характеристики ДСВ
- Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .
Решенные задачи о ДСВ
Распределения, близкие к геометрическому
Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?
Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.
Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|\xi-m| \le \sigma$.
Задача 4.
В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $\xi$ - число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $\xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.
Задачи с независимыми событиями
Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй - 0,7, третий - 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $\xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(\xi), D(\xi)$.
Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.
Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ - числа попаданий. Найти вероятность того, что $X \ge 1$.
Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.
Другие задачи и законы распределения ДСВ
Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ - разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 \lt X \le 1)$.
Задача 10.
Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.
Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.
Определение 1
Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.
Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.
Описать случайную величину можно с используя закона распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:
Рисунок 1.
где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.
Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .
Рисунок 2.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
Действия над дискретными вероятностями
При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:
Определение 3
Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$
Определение 4
Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.
Определение 5
Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Определение 6
Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.
Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$
Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$
Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:
Рисунок 3.
Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид
Рисунок 4.
А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид
Рисунок 5.
Фунция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.
Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:
- Биномиальный закон распределения
- Пуассоновский закон распределения
- Геометрический закон распределения
- Гипергеометрический закон распределения
Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.
1. Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$. Фактически, случайная величина $X$ - это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний . Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Пример . В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ - числа мальчиков в семье.
Пусть случайная величина $\xi $ - число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$, где $n=2$ - число независимых испытаний, $p=0,5$ - вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot {0,5}^0\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-0}={0,5}^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-1}=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot {0,5}^2\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-2}={0,5}^2=0,25.$
Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}$
Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _{i=1}^{n}P(\xi _{{\rm i}})=0,25+0,5+0,25=1 $.
Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt{D\left(\xi \right)}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$.
2. Закон распределения Пуассона.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.
Замечание . Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.
Пример . Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.
Пример . Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Пусть дискретная случайная величина $X$ - число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.
$P\left(X=0\right)={{1^0}\over {0!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=1\right)={{1^1}\over {1!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=2\right)={{1^2}\over {2!}}\cdot e^{-1}=0,184;$
$P\left(X=3\right)={{1^3}\over {3!}}\cdot e^{-1}=0,061;$
$P\left(X=4\right)={{1^4}\over {4!}}\cdot e^{-1}=0,015;$
$P\left(X=5\right)={{1^5}\over {5!}}\cdot e^{-1}=0,003;$
$P\left(X=6\right)={{1^6}\over {6!}}\cdot e^{-1}=0,001;$
$P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$
Закон распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda } \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Геометрический закон распределения.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p{\left(1-p\right)}^{k-1},\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.
Пример . Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.
Пример . На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Пусть случайная величина $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^{k-1}$, где: $p=2/5$ - вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ - вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^0={{2}\over {5}}=0,4;$
$P\left(X=2\right)={{2}\over {5}}\cdot {{3}\over {5}}={{6}\over {25}}=0,24;$
$P\left(X=3\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^2={{2}\over {5}}\cdot {{9}\over {25}}={{18}\over {125}}=0,144;$
$P\left(X=4\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^3+{\left({{3}\over {5}}\right)}^4={{27}\over {125}}=0,216.$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end{array}$
Математическое ожидание:
$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Дисперсия:
$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2=}0,4\cdot {\left(1-2,176\right)}^2+0,24\cdot {\left(2-2,176\right)}^2+0,144\cdot {\left(3-2,176\right)}^2+$
$+\ 0,216\cdot {\left(4-2,176\right)}^2\approx 1,377.$
Среднее квадратическое отклонение:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{1,377}\approx 1,173.$
4. Гипергеометрический закон распределения.
Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ - число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:
$P\left(X=k\right)={{C^k_mC^{n-k}_{N-m}}\over {C^n_N}}$
Замечание . Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.
$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК . Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}$.
Пример . В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.
а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
Пусть случайная величина $X$ - число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ - размер совокупности, $m=5$ - число успехов в совокупности, $n=3$ - размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ - число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)={C_{m}^{k} \cdot C_{N-m}^{n-k} \over C_{N}^{n} } $. Имеем:
$P\left(X=0\right)={{C^0_5\cdot C^3_3}\over {C^3_8}}={{1}\over {56}}\approx 0,018;$
$P\left(X=1\right)={{C^1_5\cdot C^2_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {56}}\approx 0,268;$
$P\left(X=2\right)={{C^2_5\cdot C^1_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {28}}\approx 0,536;$
$P\left(X=3\right)={{C^3_5\cdot C^0_3}\over {C^3_8}}={{5}\over {28}}\approx 0,179.$
Тогда ряд распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end{array}$
Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.
$M\left(X\right)={{nm}\over {N}}={{3\cdot 5}\over {8}}={{15}\over {8}}=1,875.$
$D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}={{3\cdot 5\cdot \left(1-{{5}\over {8}}\right)\cdot \left(1-{{3}\over {8}}\right)}\over {8-1}}={{225}\over {448}}\approx 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{0,502}\approx 0,7085.$
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины .
Случайной называют величину , принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины - соответствующими малыми буквами латинского алфавита x , y , z и т. д.
Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием
заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью 
.
На практике встречаются два основных типа случайных величин:
1. Дискретные случайные величины;
2. Непрерывные случайные величины.
Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента.
Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями .
Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы :
| … | … | ||||
| … | … |
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .
Закон распределения можно изобразить графически : по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения .
Пример . Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.
Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X - число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “попадание при i - ом выстреле”, ;
- “промах при i - ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.
Согласно условию задачи имеем:
, 
По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:
(охотник попал в цель с первого выстрела);
(охотник попал в цель со второго выстрела);
(охотник попал в цель с третьего выстрела);
(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).
Проверка: - верно.
Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Пример. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9, второй - 0,8, третий - 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.
Решение. Случайная величина X - число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “i - ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;
- “i - ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .
По условию задачи имеем:
, 
.
(1 оценок, в среднем: 5,00 из 5)
Loading...
