Изображен график 4 8 отрезка 3 1. График производной

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на промежутке [–5; 6]. Найдите количество точек графика f(x), в каждой из которых касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс

На рисунке изображён график производной дифференцируемой функции y = f(х).

Найдите количество точек графика функции, принадлежащих отрезку [–7; 7], в которых касательная к графику функции параллельна прямой, заданной уравнением у = –3х.

Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат - расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

На рисунке изображены участки графика функции y=f(х) и касательной к нему в точке с абсциссой х = 0. Известно, что данная касательная параллельна прямой, проходящей через точки графика с абсциссами х = -2 и х = 3. Используя это, найдите значение производной f"(о).

На рисунке изображён график y = f’(x) - производной функции f(x), определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Материальная точка движется вдоль прямой от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат - расстояние от начального положения точки(в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

Функция у = f (x) определена на промежутке [-4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых образует с положительным направлением оси Ох угол 45°.

Функция у = f (x) определена на отрезке [-2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение на отрезке [-2; -0,001].

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Касательная задана уравнением y = -2x + 15. Найдите значение производной функции у = -(1/4)f(x) + 5 в точке x0.

На графике дифференцируемой функции у = f (x) отмечены семь точек: х1,..,х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f (x) больше нуля. В ответе укажите количество этих точек.

На рисунке изображён график y = f"(х) производной функции f(х), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x-11 или совпадает с ней.

На рисунке изображён график y=f"(x)- производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x) ?

На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке х0. Касательная задана уравнением у = 1,5x + 3,5. Найдите значение производной функции у = 2f(x) - 1 в точке x0.

На рисунке приведен график y=F(x) одной из первообразных функции f (x). На графике отмечены шесть точек с абсциссами x1, x2, ..., x6. В скольких из этих точек функция y=f(x) принимает отрицательные значения?

На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат - пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, где x - расстояние от точки отсчёта (в метрах), t - время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с

На рисунке изображен график первообразной у = F(x) некоторой функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество нулей функции f(x) на данном интервале.

На рисунке изображён график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [- 5; 2].

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ... x9 . Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12t^3−3t^2+2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. найдите значение производной функции y=4*f(x)-3 в точке x0.

Решение заданий части В ЕГЭ по математике

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4. Ответ: 2 . На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает.

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них - интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 2. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2]. Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной - изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) . Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . По свойствам касательной y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Источники http://reshuege.ru/

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

B8 . ЕГЭ

1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)в точке x0. Ответ: 2

2.

Ответ:-5

3.

На интервале (–9;4).

Ответ:2

4.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 Ответ: 0,5

5. Найдите точку касания прямой y = 3x + 8 и графика функции y = x3+x2-5x-4. В ответе укажите абсциссу этой точки. Ответ: -2

6.

Определите количество целочисленных значений аргумента, при которых производная функции f(x) отрицательна. Ответ: 4

7.

Ответ: 2

8.

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=5–x или совпадает с ней. Ответ: 3

9.

Интервале (-8; 3).

Прямой y = -20. Ответ: 2

10.

Ответ: -0,5

11

Ответ: 1

12. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,5

13. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,25

14.

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x+7 или совпадает с ней. Ответ: 4

15

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -2

16.

интервале (-14;9).

Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12;7]. Ответ: 3

17

на интервале (-10;8).

Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-9;7]. Ответ: 4

18. Прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx-1 в точке с абсциссой меньше 0. Найдите b. Ответ: 17

19

Ответ: -0,25

20

Ответ: 6

21. Найдите касательную к графику функции y=x2+6x-7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания. Ответ: -0,5

22.

Ответ: 4

23. f "(x) на интервале (-16;4).

На отрезке [-11;0] найдите количество точек максимума функции. Ответ: 1

B8 Графики функции, производных функций. Исследование функций . ЕГЭ

1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)в точке x0.

2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5).

В какой точке отрезка [-5; -1] f(x) принимает наименьшее значение?

3. На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной

На интервале (–9;4).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)параллельна прямой

y = 2x-17 или совпадает с ней.

4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0

5. Найдите точку касания прямой y = 3x + 8 и графика функции y = x3+x2-5x-4. В ответе укажите абсциссу этой точки.

6. На рисунке изображён график функции y = f(x), определенной на интервале (-7; 5).

Определите количество целочисленных значений аргумента, при которых производная функции f(x) отрицательна.

7. На рисунке изображён график функции y=f "(x), определенной на интервале (-8; 8).

Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-4; 6].

8. На рисунке изображён график функции y = f "(x), определенной на интервале (-8; 4).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=5–x или совпадает с ней.

9. На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на

Интервале (-8; 3).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна

Прямой y = -20.

10. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

11 . На рисунке изображён график производной функции f(x), определенной на интервале (-9;9).

Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ на отрезке [-6;8]. 1

12. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

13. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

14. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6;8).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x+7 или совпадает с ней.

15 . На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

16. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на

интервале (-14;9).

Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12;7].

17 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной

на интервале (-10;8).

Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-9;7].

18. Прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx-1 в точке с абсциссой меньше 0. Найдите b.

19 . На рисунке изображен график производной функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

20 . Найдите количество точек на интервале (-1;12), в которых производная изображенной на графике функции y = f(x), равна 0.

21. Найдите касательную к графику функции y=x2+6x-7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания.

22. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых точек интервала (-2;11), в которых производная функции f(x) положительна.

23. На рисунке изображен график функции y= f "(x) на интервале (-16;4).

На отрезке [-11;0] найдите количество точек максимума функции.