Натуральные числа - основы. Чтение и запись больших натуральных чисел

Натуральные числа для нас очень привычны и естественны. И это не удивительно, так как знакомство с ними начинается с первых лет нашей жизни на интуитивно понятном уровне.

Информация этой статьи создает базовое представление о натуральных числах, раскрывает их предназначение, прививает навыки записи и чтения натуральных чисел. Для лучшего усвоения материала приведены необходимые примеры и иллюстрации.

Навигация по странице.

Натуральные числа – общее представление.

Не лишено здравой логики следующее мнение: появление задачи счета предметов (первый, второй, третий предмет и т.д.) и задачи указания количества предметов (один, два, три предмета и т.д.) обусловило создание инструмента для ее решения, этим инструментом явились натуральные числа .

Из этого предложения видно основное предназначение натуральных чисел – нести в себе информацию о количестве каких-либо предметов или порядковом номере данного предмета в рассматриваемом множестве предметов.

Чтобы человек мог использовать натуральные числа, они должны быть каким-либо образом доступны как для восприятия, так и для воспроизведения. Если озвучить каждое натуральное число, то оно станет воспринимаемым на слух, а если изобразить натуральное число, то его можно будет увидеть. Это самые естественные способы, позволяющие донести и воспринять натуральные числа.

Так приступим же к приобретению навыков изображения (записи) и навыков озвучивания (чтения) натуральных чисел, познавая при этом их смысл.

Десятичная запись натурального числа.

Сначала следует определиться с тем, от чего мы будем отталкиваться при записи натуральных чисел.

Давайте запомним изображения следующих знаков (покажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Приведенные изображения представляют собой запись так называемых цифр . Давайте сразу договоримся не переворачивать, не наклонять и иным образом не искажать цифры при записи.

Теперь условимся, что в записи любого натурального числа могут присутствовать только лишь указанные цифры и не могут присутствовать никакие другие символы. Также условимся, что цифры в записи натурального числа имеют одинаковую высоту, располагаются в строчку друг за другом (с почти отсутствующими отступами) и слева находится цифра, отличная от цифры 0 .

Приведем несколько примеров правильной записи натуральных чисел: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (обратите внимание: отступы между цифрами не всегда одинаковы, подробнее об этом будет сказано при рассмотрении ). Из приведенных примеров видно, что в записи натурального числа не обязательно присутствуют все из цифр 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; некоторые или все цифры, участвующие в записи натурального числа, могут повторяться.

Записи 014 , 0005 , 0 , 0209 не являются записями натуральных чисел, так как слева находится цифра 0 .

Запись натурального числа, выполненная с учетом всех требований, описанных в этом пункте, называется десятичной записью натурального числа .

Дальше мы не будем разграничивать натуральные числа и их запись. Поясним это: дальше в тексте будут использоваться фразы типа «дано натуральное число 582 », которые будут означать, что дано натуральное число, запись которого имеет вид 582 .

Натуральные числа в смысле количества предметов.

Пришло время разобраться с количественным смыслом, который несет в себе записанное натуральное число. Смысл натуральных чисел в плане нумерации предметов рассмотрен в статье сравнение натуральных чисел .

Начнем с натуральных чисел, записи которых совпадают с записями цифр, то есть, с чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 .

Представим, что мы открыли глаза и увидели некоторый предмет, например, вот такой . В этом случае можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один » (склонение числительного «один», а также других числительных, дадим в пункте ), для числа 1 принято еще одно название - «единица ».

Однако, термин «единица» - многозначный, им кроме натурального числа 1 , называют нечто, рассматриваемое как единое целое. Например, любой один предмет из их множества можно назвать единицей. К примеру, любое яблоко из множества яблок – это единица, любая стая птиц из множества стай птиц – это также единица и т.д.

Теперь открываем глаза и видим: . То есть, мы видим один предмет и еще один предмет. В этом случае можно записать, что мы видим 2 предмета. Натуральное число 2 , читается как «два ».

Аналогично, - 3 предмета (читается «три » предмета), - 4 («четыре ») предмета, - 5 («пять »), - 6 («шесть »), - 7 («семь »), - 8 («восемь »), - 9 («девять ») предметов.

Итак, с рассмотренной позиции натуральные числа 1 , 2 , 3 , …, 9 указывают количество предметов.

Число, запись которого совпадает с записью цифры 0 , называют «нуль ». Число нуль НЕ натуральное, однако, его обычно рассматривают вместе с натуральными числами. Запомним: нуль означает отсутствие чего-либо. Например, нуль предметов – это ни одного предмета.

В следующих пунктах статьи мы продолжим раскрывать смысл натуральных чисел в плане указания количества.

Однозначные натуральные числа.

Очевидно, запись каждого из натуральных чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 состоит из одного знака - одной цифры.

Определение.

Однозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из одного знака - одной цифры.

Перечислим все однозначные натуральные числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Всего однозначных натуральных чисел девять.

Двузначные и трехзначные натуральные числа.

Сначала дадим определение двузначных натуральных чисел.

Определение.

Двузначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых составляют два знака - две цифры (различные или одинаковые).

К примеру, натуральное число 45 – двузначное, числа 10 , 77 , 82 тоже двузначные, а 5 490 , 832 , 90 037 – не двузначные.

Давайте разберемся, какой смысл несут в себе двузначные числа, при этом будем отталкиваться от уже известного нам количественного смысла однозначных натуральных чисел.

Для начала введем понятие десятка .

Представим такую ситуацию – мы открыли глаза и увидели множество, состоящее из девяти предметов и еще одного предмета. В этом случае говорят об 1 десятке (одном десятке) предметов. Если рассматривают вместе один десяток и еще один десяток, то говорят о 2 десятках (двух десятках). Если к двум десяткам присоединить еще один десяток, то будем иметь три десятка. Продолжая этот процесс, будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, и наконец, девять десятков.

Теперь мы можем перейти к сути двузначных натуральных чисел.

Для этого посмотрим на двузначное число как на два однозначных числа – одно находится слева в записи двузначного числа, другое находится справа. Число слева указывает количество десятков, а число справа – количество единиц. При этом если справа в записи двузначного числа находится цифра 0 , то это означает отсутствие единиц. В этом и есть весь смысл двузначных натуральных чисел в плане указания количества.

К примеру, двузначное натуральное число 72 соответствует 7 десяткам и 2 единицам (то есть, 72 яблока – это множество из семи десятков яблок и еще двух яблок), а число 30 отвечает 3 десяткам и 0 единицам, то есть, единиц, которые не объединены в десятки, нет.

Ответим на вопрос: «Сколько всего существует двузначных натуральных чисел»? Ответ: их 90 .

Переходим к определению трехзначных натуральных чисел.

Определение.

Натуральные числа, запись которых состоит из 3 знаков – 3 цифр (различных или повторяющихся), называются трехзначными .

Примерами натуральных трехзначных чисел являются 372 , 990 , 717 , 222 . Натуральные числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 не являются трехзначными.

Для понимания смысла, заложенного в трехзначных натуральных числах, нам понадобится понятие сотни .

Множество из десяти десятков – это 1 сотня (одна сотня). Сотня и сотня – это 2 сотни. Две сотни и еще одна сотня – это три сотни. И так далее, имеем четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, и, наконец, девять сотен.

Теперь посмотрим на трехзначное натуральное число как на три однозначных натуральных числа, идущих друг за другом справа налево в записи трехзначного натурального числа. Число справа указывает количество единиц, следующее число указывает количество десятков, следующее число – количество сотен. Цифры 0 в записи трехзначного числа означают отсутствие десятков и (или) единиц.

Таким образом, трехзначное натуральное число 812 соответствует 8 сотням, 1 десятку и 2 единицам; число 305 – трем сотням (0 десяткам, то есть, десятков, не объединенных в сотни, нет) и 5 единицам; число 470 – четырем сотням и семи десяткам (единиц, не объединенных в десятки, нет); число 500 – пяти сотням (десятков, не объединенных в сотни, и единиц, не объединенных в десятки, нет).

Аналогичным образом можно дать определения четырехзначных, пятизначных, шестизначных и т.д. натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа.

Итак, переходим к определению многозначных натуральных чисел.

Определение.

Многозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из двух или трех или четырех и т.д. знаков. Иными словами, многозначные натуральные числа – это двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа.

Сразу скажем, что множество, состоящее из десяти сотен, – это одна тысяча , тысяча тысяч – это один миллион , тысяча миллионов – это один миллиард , тысяча миллиардов – это один триллион . Тысяче триллионов, тысяче тысяч триллионов и так далее также можно дать свои названия, но в этом нет особой надобности.

Так какой смысл скрывается за многозначными натуральными числами?

Посмотрим на многозначное натуральное число как на следующие одно за другим справа налево однозначные натуральные числа. Число справа указывает количество единиц, следующее число – количество десятков, следующее – количество сотен, дальше – количество тысяч, дальше – количество десятков тысяч, дальше – сотен тысяч, дальше – количество миллионов, дальше – количество десятков миллионов, дальше – сотен миллионов, дальше – количество миллиардов, далее – количество десятков миллиардов, далее – сотен миллиардов, далее – триллионов, далее - десятков триллионов, далее - сотен триллионов и так далее.

К примеру, многозначное натуральное число 7 580 521 соответствует 1 единице, 2 десяткам, 5 сотням, 0 тысячам, 8 десяткам тысяч, 5 сотням тысяч и 7 миллионам.

Таким образом, мы научились группировать единицы в десятки, десятки в сотни, сотни в тысячи, тысячи в десятки тысяч и так далее и выяснили, что цифры в записи многозначного натурального числа указывают соответствующее количество вышеперечисленных групп.

Чтение натуральных чисел, классы.

Мы уже упоминали, как читаются однозначные натуральные числа. Выучим содержимое следующих таблиц наизусть.

А как читаются остальные двузначные числа?

Поясним на примере. Прочитаем натуральное число 74 . Как мы выяснили выше, это число соответствует 7 десяткам и 4 единицам, то есть, 70 и 4 . Обращаемся к только что записанным таблицам, и число 74 читаем как: «Семьдесят четыре» (союз «и» не произносим). Если нужно прочитать число 74 в предложении: «Нет 74 яблок» (родительный падеж), то это будет звучать так: «Нет семидесяти четырех яблок». Еще пример. Число 88 – это 80 и 8 , следовательно, читаем: «Восемьдесят восемь». А вот пример предложения: «Он думает о восьмидесяти восьми рублях».

Переходим к чтению трехзначных натуральных чисел.

Для этого нам придется выучить еще несколько новых слов.

Осталось показать, как читаются остальные трехзначные натуральные числа. При этом будем использовать уже полученные навыки чтения однозначных и двузначных чисел.

Разберем пример. Прочитаем число 107 . Это число соответствует 1 сотне и 7 единицам, то есть, 100 и 7 . Обратившись к таблицам, читаем: «Сто семь». А теперь произнесем число 217 . Это число есть 200 и 17 , поэтому, читаем: «Двести семнадцать». Аналогично, 888 – это 800 (восемьсот) и 88 (восемьдесят восемь), читаем: «Восемьсот восемьдесят восемь».

Переходим к чтению многозначных чисел.

Для чтения запись многозначного натурального числа разбивается, начиная справа, на группы по три цифры, при этом в самой левой такой группе может оказаться либо 1 , либо 2 , либо 3 цифры. Эти группы называются классами . Класс, находящийся справа, называют классом единиц . Следующий за ним (справа налево) класс называют классом тысяч , следующий класс – классом миллионов , следующий – классом миллиардов , далее идет класс триллионов . Можно дать названия и следующих классов, но натуральные числа, запись которых состоит из 16 , 17 , 18 и т.д. знаков, обычно не читают, так как их очень трудно воспринять на слух.

Посмотрите на примеры разбиения многозначных чисел на классы (для наглядности классы отделяют друг от друга небольшим отступом): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Занесем записанные натуральные числа в таблицу, по которой легко научиться их читать.

Чтобы прочитать натуральное число, называем слева направо составляющие его числа по классам и добавляем название класса. При этом не произносим название класса единиц, а также пропускаем те классы, которые составляют три цифры 0 . Если в записи класса слева находится цифра 0 или две цифры 0 , то игнорируем эти цифры 0 и читаем число, полученное отбрасыванием этих цифр 0 . К примеру, 002 прочитаем как «два», а 025 - как «двадцать пять».

Прочитаем число 489 002 по приведенным правилам.

Чтение ведем слева направо,

читаем число 489 , представляющее класс тысяч, - «четыреста восемьдесят девять»;
добавляем название класса, получаем «четыреста восемьдесят девять тысяч»;
дальше в классе единиц видим 002 , слева находятся нули, их игнорируем, поэтому 002 читаем как «два»;
название класса единиц добавлять не надо;
в итоге имеем 489 002 – «четыреста восемьдесят девять тысяч два».

Приступаем к чтению числа 10 000 501 .

Слева в классе миллионов видим число 10 , читаем «десять»;
добавляем название класса, имеем «десять миллионов»;
далее видим запись 000 в классе тысяч, так как все три цифры есть цифры 0 , то пропускаем этот класс и переходим к следующему;
класс единиц представляет число 501 , которое читаем «пятьсот один»;
таким образом, 10 000 501 – десять миллионов пятьсот один.

Сделаем это без подробных пояснений: 1 789 090 221 214 – «один триллион семьсот восемьдесят девять миллиардов девяноста миллионов двести двадцать одна тысяча двести четырнадцать».

Итак, в основе навыка чтения многозначных натуральных чисел лежит умение разбивать многозначные числа на классы, знание названий классов и умение читать трехзначные числа.

Разряды натурального числа, значение разряда.

В записи натурального числа значение каждой цифры зависит от ее позиции. К примеру, натуральное число 539 соответствует 5 сотням, 3 десяткам и 9 единицам, следовательно, цифра 5 в записи числа 539 определяет количество сотен, цифра 3 – количество десятков, а цифра 9 – количество единиц. При этом говорят, что цифра 9 стоит в разряде единиц и число 9 является значением разряда единиц , цифра 3 стоит в разряде десятков и число 3 является значением разряда десятков , а цифра 5 – в разряде сотен и число 5 является значением разряда сотен .

Таким образом, разряд – это с одной стороны позиция цифры в записи натурального числа, а с другой стороны значение этой цифры, определяемое ее позицией.

Разрядам присвоены названия. Если смотреть на цифры в записи натурального числа справа налево, то им будут соответствовать следующие разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и так далее.

Названия разрядов удобно запоминать, когда они представлены в виде таблицы. Запишем таблицу, содержащую названия 15 разрядов.

Заметим, что количество разрядов данного натурального числа равно количеству знаков, участвующих в записи этого числа. Таким образом, в записанной таблице содержатся названия разрядов всех натуральных чисел, запись которых содержит до 15 знаков. Следующие разряды также имеют свои названия, но они очень редко используются, поэтому не имеет смысла их упоминать.

С помощью таблицы разрядов удобно определять разряды данного натурального числа. Для этого нужно записать в эту таблицу данное натуральное число так, чтобы в каждом разряде оказалась одна цифра, и крайняя справа цифра оказалась в разряде единиц.

Приведем пример. Запишем натуральное число 67 922 003 942 в таблицу, при этом станут отчетливо видны разряды и значения этих разрядов.

В записи этого числа цифра 2 стоит в разряде единиц, цифра 4 – в разряде десятков, цифра 9 – в разряде сотен и т.д. Следует обратить внимание на цифры 0 , находящиеся в разрядах десятков тысяч и сотен тысяч. Цифры 0 в этих разрядах означают отсутствие единиц данных разрядов.

Следует еще обмолвиться о так называемом низшем (младшем) и высшем (старшем) разряде многозначного натурального числа. Низшим (младшим) разрядом любого многозначного натурального числа является разряд единиц. Высшим (старшим) разрядом натурального числа является разряд, соответствующий крайней справа цифре в записи этого числа. Например, младшим разрядом натурального числа 23 004 является разряд единиц, а старшим – разряд десятков тысяч. Если в записи натурального числа двигаться по разрядам слева направо, то каждый следующий разряд ниже (младше) предыдущего. Например, разряд тысяч младше разряда десятков тысяч, тем более разряд тысяч младше разряда сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и т.д. Если же в записи натурального числа двигаться по разрядам справа налево, то каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. Например, разряд сотен старше разряда десятков, и тем более, старше разряда единиц.

В некоторых случаях (например, при выполнении сложения или вычитания) используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых этого натурального числа.

Вкратце о десятичной системе счисления.

Итак, мы познакомились с натуральными числами, со смыслом, заложенным в них, и способом записи натуральных чисел с помощью десяти цифр.

Вообще, метод записи чисел с помощью знаков, называют системой счисления . Значение цифры в записи числа может зависеть от ее позиции, а может и не зависеть от ее позиции. Системы счисления, в которых значение цифры в записи числа зависит от ее позиции, называют позиционными .

Таким образом, рассмотренные нами натуральные числа и метод их записи, указывает на то, что мы пользуемся позиционной системой счисления. Следует заметить, что особое место в этой системе счисления имеет число 10 . Действительно, счет ведется десятками: десять единиц объединяются в десяток, десяток десятков объединяется в сотню, десяток сотен – в тысячу, и так далее. Число 10 называют основанием данной системы счисления, а саму систему счисления называют десятичной .

Помимо десятичной системы счисления существуют и другие, например, в информатике используется двоичная позиционная система счисления, а с шестидесятеричной системой мы сталкиваемся, когда речь идет об измерении времени.

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Урок в 5 классе по теме « Чтение и запись натуральных чисел»
Цель: закрепить навыки чтения и записи натуральных чисел.

Не из учебника задача,
А потрудней открылся шифр.
Ребята поняли, что значат
Простые с виду десять цифр
Да, путь познания не гладок.
Но значит вы со школьных лет:
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет.
Устный счет№1,6
Математический диктант
«Закончите предложения»:
1.Десять единиц образуют один ….
2.Десят десятков образуют одну….
3.Знаки для обозначения чисел называют….
4.Наибольшее натуральное число равно….
Историческая справка
Ученые считают, что люди научились считать 10 тысяч лет тому назад, но овладение людьми большими числами происходило долго и медленно. До сих пор путешественники находят племена, которые не знают чисел больше 10.
Самая маленькая известная вам цифра? (нуль)
Когда- то многие считали,
Что нуль не значит ничего,
И, как не странно полагали
Что он совсем не есть число.
Число нуль не входит в множество натуральных чисел.
Как в Индии в начале нашей эры называли число нуль? (Шалунья).
А давайте вспомним пословицы связанные с цифрой нуль.

А может, вы знаете, как появились натуральные числа?
Эти числа появились в глубокой древности, когда людям понадобилось вести счет окружающих предметов, плодов, животных.
Само слово «натуральный» означает в русском языке то же самое что «естественный».
А слово natura – по латински – есть природа.
Арабы принесли к нам способ записи чисел, которыми мы пользуемся из Индии. Однако в самой Индии до последнего времени цифры выглядели совсем не так, как в Европе.
В Древней Греции поступали очень просто: греки не стали выдумывать специальные знаки для цифр, а использовали буквы.
1-обозначалиА,2-Б,3-Г.
Греческий алфавит похож на русский в этом нет ничего удивительного, так как славянский алфавит создан на основе греческого монахами Кириллом и Мефодием.
Сегодня мы познакомимся с римскими цифрами.
I, II, III, V, VI, C, D, M.
С помощью этих цифр с применением сложения и вычитания в римской нумерации записывают и другие числа.
В справочный материал: если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей, если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей.
Великим достижением математиков было изобретение десятичной системы записи чисел, хорошо нам известной в ней используют только 10 цифр их называют арабскими.

Физкультминутка .
Игра «Цифра – число». Правила игры: учитель называет числа и цифры. Дети встают , если называется число, садятся - при названии цифры.
Тренировочные упражнения. Устно.
1.Сколько различных цифр в записи числа:
а) 3428 б)30706 в) 100789?
2. Какую из следующих записей можно назвать натуральным рядом? Ответ обоснуйте.
а) 1,2,3,4,5,6,7.
б)1,2,3,4,5,6,7,…
в)1,3,5,7,…
г)0,1,1,3,4,5,6,7,…
3.Запишите однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа с помощью цифр (все цифры должны быть различные).
Закрепление № 23,29,30.
Итог урока. Тест (с помощью сигнальных карт)
1. Натуральные числа – это:
а) 0,1,2,3,;.%...; б) 1,2,3,4,5…… в)1,2,3,0,5…; г) 1,2,3,4,5.
2.Десятичная запись числа осуществляется с помощью
а)1,2,3,4,5,6,7,8,9;
б)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;
в)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
3. Число пятьдесят восемь тысяч тридцать записывается с помощью цифр:
а)3,5,8;
б)1,3,5,8;
в)0,1,3,5,8;
Домашнее задание: п. 2.1 ответить на вопросы №22,24,27;
Дополнительное задание: сочинить сказку о цифрах и числах (можно с иллюстрациями).

Чтение и запись натуральных чисел

Г. Самойлик, методист ОМЦ ЗОУКО, Москва

На уроке по теме «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал.

Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Дело в том, что индийскую систему нумерации усвоили арабы, а труды индийских ученых в Европе стали известны значительно позже, чем труды арабских ученых. Поэтому эти ци

фры правильнее называть индийскими. Наш способ счета и записи чисел называется Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». а в Индии около 2000 лет назад. В Европе она распространилась благодаря труду по арифметике среднеазиатского ученого Мухаммеда Хорезми (ал-Хорезми) (780–850 гг.).

Одним из древнейших трудов по арифметике, дошедших до нас, является учебник «Вопросы и решения» армянского философа и математика Анания Ширакаци, жившего в VII в. В его книге применяется алфавитная нумерация. Десятичная алфавитная нумерация была распространена и в Киевской Руси. В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которым ставили особый значок – титло (~).

Учитель, готовый украсить свой урок, перед его началом должен иметь на доске красочные плакаты (естественно, закрытые от глаз учеников до поры до времени либо занавесками, либо газетами. Это очень важный и эффективный методический прием, который следует иметь в виду учителю. Плакаты нужно обязательно закрыть, иначе ученики растеряют свое внимание перед уроком и затем собрать их внимание учителю будет не под силу. (Поэтому всегда, особенно в 5-м классе, следует закрывать наглядный материал, помещенный на доске). На доску может быть вынесен следующий материал.

Что касается старинных задач к этой теме, то таковых можно предложить множество. Можно, например, воспользоваться сборником «Старинные занимательные задачи» автора С.Н. Олехника, вышедшим в издательстве «Наука» в 1988 г.

Приведу здесь лишь некоторые примеры таких задач.

1. Величайший математик древности Архимед погиб в возрасте 75 лет во время осады Сиракуз (212 г. до н. э.). Определите год рождения Архимеда.

Задачи из старинных русских рукописей

3. На охоте

Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем, и собакой.)

Решение. Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков, но собака за 5 скачков из 6 пробегает то же расстояние, что и заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 скачкам собаки, то собака догонит зайца через 40ж6 =

240 скачков.

4. Воз сена

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение. Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за два месяца, то за год она съест 6 возов сена. И наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съест 4 воза сена. Вместе же они съедят за год 12 + 6 + 4 = 22 воза сена. Тогда один воз сена они все вместе съедят за месяца.

Особенностью подачи исторического материала в 5-м классе является незагруженность его слишком сложными и объемными сведениями, его лаконичность, четкость и красочность, иллюстрирующего его материала.

Список литературы

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

Закрепить и расширить знания учащихся о формах записи чисел, значении места цифры в записи числа; совершенствовать навыки применения знаний по теме для решения задач, продолжить формирование учебных компетентностей при оперировании понятием “разряд”,
Развивать качества мышления учащихся, как критичность, сообразительность, наблюдательность, память, интуиция;
Формировать и развивать у учащихся положительные мотивы учебно-познавательной деятельности, интерес, творческую инициативу и активность;
Выявить учащихся с повышенной образовательной мотивацией.

План урока:

Организационный момент – 2 мин.
Устные вопросы для актуализации знаний – 4 мин.
Выступление учащегося – 3 мин.
Устная работа – 3 мин.
Задача – ребус – 6 мин.
Физкультминутка – 2 мин.
Математический диктант с проверкой – 7 мин.
Разбор и решение олимпиадной задачи – 6 мин.
Мини-исследование – математический фокус – 5 мин.
Математические стихи. Обсуждение вопроса о двойственности значения знаков, используемых для записи чисел. – 5 мин.
Подведение итогов. Домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент – учитель задаёт вопросы:

– Какую тему мы с вами сейчас изучаем? (“Чтение и запись натуральных чисел”.)
– Какие вы знаете способы записи чисел? (Цифрами, словами, …)
– На сегодняшнем уроке чему бы вы хотели научиться? (Учитель поощряет такие высказывания, как “узнать новое”, “научиться применять свои знания”, “научится решать задачи”, и т.п.)

Учитель: Ребята, сейчас проверим, насколько мы готовы к уроку и приобретению новых знаний.

2. Вопросы актуализации знаний:

(Слайд 2–4).

Как называются числа, которые мы применяем для счёта предметов? (Натуральные. )
Какое число мы употребляем для обозначения выражения “ни одного”? (0 )
Назовите самое маленькое натуральное число. (1 )
Назовите самое большое натуральное число. (Ряд натуральных чисел бесконечен, наибольшего числа в нём нет. )
Ноль это натуральное число? (Нет. )
С помощью каких знаков мы записываем числа? (С помощью цифр. )
Что обозначают цифры в записи числа 63? (В этом числе три единицы и шесть десятков. )
Как называется место цифры в записи числа? (Разряд. )
Знаете ли вы кто, где и когда придумали такую запись чисел, при которой значение цифры зависит от её место в записи числа? (Следует выслушать ответы – предположения учащихся, а возможно кто-то знает ответ.)

Учитель предлагает послушать выступление учащегося.

3. Выступление учащегося. Примерный текст: (материал – Википедия). (Слайд 5).

Ученик: Для обозначения чисел мы используем 10 цифр, поэтому такую систему называют десятичной системой счисления. Причём значение каждой цифры в записи числа зависит от его места – разряда (позиции). Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда. Поэтому наша система счисления называется десятичной позиционной системой счисления.

Для записи чисел мы используем символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами. Но хотя цифры называются арабскими, придумали их не арабы.

А вот в какой стране придумали эти символы, вы узнаете, если вместо звездочек в равенства поставите цифры так, чтобы равенство было верным, а потом соответствующую букву. (Слайд 6).

На доске:

1 = Н, 2 = И, 3 = К, 4 = Д, 5 = Е, 9 = М, 0 = Я

Учащиеся под руководством учителя и выступающего выполняют задание.

Ученик: Цифры, которые мы называем арабскими возникли в Индии примерно в V веке, но распространили такую форму записи цифр арабы, поэтому цифры называют арабскими. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной.

4. Устная работа.

Учитель: Ребята. Сегодня на уроке мы особое внимание уделим разряду.

На доске записаны числа. Среди них назовите такие числа, в записи которых одна и та же цифра стоит в различных разрядах, а значит, имеет различные значения. Объясните, что означает эта цифра в записи названных вами чисел.

(Слайд 7).

На доске записаны: 301, 401, 43, 234. – учащиеся называю числа устно, с пояснениями.

5. Задача – ребус.

Учитель : Сегодня мы уже работали с равенством, в котором цифры заменены, например, на звездочки. Такое равенство называется ребусом. Решить ребус – значит, вместо звездочки подставить нужную цифру так, чтобы выражение было верным. Сейчас мы решим ещё одно задание на ребус.

Один учащийся решает вслух, с рассуждениями у доски.

Задание на доске (Слайд 8):

Замените звездочки цифрами так, чтобы получился верный пример на сложение:

97* + **5 + 1*86 = 2230.

Решение.
В разряде единиц 5 + 6 = 11, и для того, чтобы в сумме в разряде единиц получился 0, звездочку можно заменить только на 9. При этом 2 перенесется в разряд десятков.
7 + 8 + 2 = 17, поэтому в разряде десятков звездочку можно заменить только на 6.
В разряде сотен 9 + 2 = 11 (2 перешло из разряда десятков), то есть единица уже перенесется в разряд десятков тысяч. Тогда, сумма двух звездочек равняется 1, значит, одна заменяется на 1, другая – на 0. Во втором слагаемом звездочку в разряде сотен на 0 не заменишь, поэтому во втором слагаемом заменяем на 1, в третьем – на 0.
Ответ: 979 + 165 + 1086 = 2230.

6. Математический диктант – без вариантов, с проверкой:

Учитель : А сейчас мы проведём математический диктант. Каждый из вас будет работать самостоятельно. Внимательно слушайте задания. Те, кому трудно будет выполнять задания на слух, смотрите на доску (на доске в нужный момент последовательно будут появляться вопросы ). После диктанта мы вместе проверим правильность его выполнения.

Возможны следующие варианты проведения:

Один человек – сильный учащийся работает у доски, так, чтобы остальные не могли видеть, пока не придёт время проверки.
Вызывать после каждого задания одного ученика к доске для записи ответа, но без комментариев “верно/ неверно”. Если работаем с доской типа IQBoard ET или IQBoard PS возможна запись на самой доске.

Текст математического диктанта (Слайды 9–10).

Запишите наименьшее трехзначное число, в котором все цифры различны. (102 )
Запишите наибольшее натуральное число, в котором все цифры различны (9876543210 – десятизначное ).
Запишите двузначное число, в котором число десятков в семь раз больше цифры его единиц (включаем логику : чтобы выполнялось условие подходит только 71 ).
Запишите двузначное число, в котором число единиц равно наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на три меньше числа единиц. (69 )
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на два меньше этой суммы. Запишите это число. (72 )

Завершается этот этап работы проверкой с комментариями, а также рефлексией (поднимите руки те учащиеся, кто справился с заданием без ошибок, какое задание оказалось для вас самых трудным…).

7. Физкультминутка.

(Нараспев, делая паузы, чтобы дети могли неоднократно выполнить каждое движение – упражнение.)

Все поднялись.
Встали в ряд.
Изучали мы разряд.
А сейчас мы отдохнем,
Руки, ноги разомнём.
Потянулись, улыбнулись.
Все нагнулись, разогнулись.
Подтянули плечики.
Прыгаем, кузнечики.
И в ладоши три хлопка.
Головою три кивка.
Мы глазами поморгаем.
Физкультуру уважаем.
Это бодрости заряд!
Шшш…(успокаиваем детей, показываем, что можно сесть)
Изучаем мы разряд…

Учитель: Кто из вас принимал участие в олимпиаде по математике? Поднимите руки. И в пятом классе и в старших классах ежегодно в школах проводятся олимпиады по математике для тех, кто увлекается математикой. Как вы думаете, чем отличаются олимпиадные задачи от тех, которые мы решаем на уроках математики (“сложнее”, “необычные”, “другие”… ). Я предлагаю вам решить олимпиадную задачу (Слайд 11). Давайте посмотрим, сможем ли мы с ней справиться.

8. Задача.

Натуральные числа, начиная с числа 1 и заканчивая числом 100, выписывают одно за другим. Получается некоторое многозначное число. Сколько цифр в записи этого числа? Сколько раз в этой записи встречается цифра 1?

Рекомендуется не сразу вызывать учащегося к доске, а дать время на обдумывание условия задачи, дать учащимся возможность попробовать написать число, сделать вывод, что всё число записывать бессмысленно, обсудить возможную форму записи (например, 123456…979899100), разбить решение задачи на этапы.

Решение:
1. 9 чисел однозначных, (99-9) чисел двузначных, 1 число трехзначное. Значит всего цифр 9 + (99 – 9)* 2 + 3 =192.
2. У чисел, которые мы выписываем, в разряде единиц цифра 1 встречается 10 раз, в разряде десятков 10 раз, в разряде сотен 1 раз. Всего цифра 1 в записи встречается 21 раз.

Предлагается закончить этот этап работы также рефлексией.

Рефлексия:

Смогли ли мы справиться с задачей?
Кому понравилась задача?
Кто считает эту задачу не очень сложной?
Кто считает, что смог бы решить эту задачу самостоятельно?

9 . Математический фокус (мини– исследование) – 5 мин.

Учитель: Любите ли Вы играть? А кто любит фокусы? Я тоже люблю фокусы. И сейчас покажу вам один из них:

Внимательно слушайте мои указания.

Запишите любое четырехзначное число такое, чтобы в нем число десятков было на 1 больше числа единиц, число сотен было на 1 больше числа десятков, а число тысяч было на 1 больше числа сотен.
Запишите число, которое получится, если цифры этого числа записать в обратном порядке.
Вычтите из второго числа первое.
Запишите результат. Назовите его громко вслух. У всех вас получится одно и тоже число (Слайд 12).

Это число 3087.

Ученики выполняют задание, проверяют, сравнивают числа, которые они записывали, обсуждают, выдвигают гипотезы. Объяснять этот фокус, то есть доказывать на уроке не нужно. Но можно вернуться к нему позже в пятом классе (например, при изучении представления числа в виде суммы разрядных слагаемых) или в кружковой работе .

Учитель: Предлагаю дома желающим проверить будет ли выполняться этот фокус, например для пятизначных чисел, или если следующая цифра будет отличаться от предыдущей не на 1, а на 2 и какое число при этом получится.

10. Учитель:

– Сегодня ребята приготовили нам стихотворения. Давайте их послушаем:

1-й учащийся:

Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего
И, как ни странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число…

Коль нуль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.

2-й учащийся:

Цифра вроде буквы О
Это ноль, иль ничего:
Круглый ноль такой хорошенький,
Но не знает ничегошеньки!
Если ж слева, рядом с ним,
Единицу поместим,
Он побольше станет весить,
Потому что это – десять…

3-й учащийся

Напрасно думают, что ноль
Играет маленькую роль.
Мы двойку в двадцать превратим.
Из троек и четверок
Мы можем, если захотим,
Составить тридцать, сорок.
Пусть говорят, что мы ничто, –
С двумя нолями вместе
Из единицы выйдет сто,
Из двойки – целых двести!

Учитель:

– О какой цифре рассказывается в этих стихотворениях?
– Ноль это цифра или однозначное число?
– В каком стихотворении говориться о нуле, как о цифре, а в каком, как о числе
– Итак, давайте подведём итог: десять знаков, которые мы используем для записи чисел это и цифры и однозначные числа

11. Подведение итогов:

Вопросы учителя:

1) – Что нового вы узнали на уроке?
2) – сегодня на уроке нам рассказали о том, что для вычислений мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Кто из вас может напомнить, почему она так называется?
(Десятичной она называется потому, что в ней используются десять знаков – цифр и потому, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Позиционной она называется потому, что одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от позиции, которую занимает в записи числа.)
3) Как вы думаете, почему распространение получила именно десятичная система счисления? (Предполагаемый ответ учащихся: раньше считали на пальцах, пальцев у людей на руках десять.)

Тогда послушайте ещё одно стихотворение:

Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно...
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.

– Как вы думаете, о ком идёт речь в стихотворении? А разгадку этого стихотворения я расскажу вам на следующем уроке. Спасибо за урок. Запишем домашнее задание

Домашнее задание (в данном случае целесообразно давать в конце урока):

1) п. 1 стр.5 – повторить, № 23 (г, д), 24 (е-з), № 27.
2) Всем желающим – проверить, будет ли выполняться фокус, показанный в классе для двузначного, трехзначного, пятизначного числа, каков будет при этом результат.
3) для сильных учащихся, имеющих повышенную мотивацию к изучению математики:

ЗАДАЧА (приготовлена заранее в виде карточки): Из числа 1234567…5657585960 вычеркнуть сто цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Указание:

Задание олимпиадное, однако, посильное учащимся, если предложить им разбить решение на этапы, в ходе выполнения которых они будут отвечать на вопросы:

Как получается запись этого числа? Придумайте правило. (Выписаны одно за другим натуральные числа от одного до 60. )
Сколько цифр в записи этого числа? (Однозначных чисел использовано 9, двузначных чисел 60 – 9 = 51, значит всего цифр 51 * 2 + 9 =111. )
Сколько раз в этой записи встречается цифра 9? (6 раз. )
Сколько цифр останется, если вычеркнуть из этого числа сто цифр? (Одиннадцать цифр ). Значит оставшееся число должно быть одиннадцатизначным.
Мы не можем переставлять цифры, значит мы должны обратить внимание и на последовательность цифр в записи числа. Наибольшее число должно начинаться с наибольшего числа девяток. Но шесть девяток подряд мы оставить не можем, так как за ними останется только две цифры 6 и 0. Всего останется шесть цифр (99999960), а нам нужно одиннадцать, значит пробуем оставить впереди первые пять девяток. Шестая цифра должна быть наибольшей из тех, сзади которых остается ещё пять цифр. Такой является цифра 7.
Оставшееся число 99999785960

Использованная литература:

И.Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.
Стихи о нуле – авторы С.Я. Маршак, И. Фомяков. Стихи взяты с научного портала “Эврика”. http://evrika.tsi.lv/index.php?name=texts&file=show&f=114
Учебник Математика, 5-й класс/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2009.

Г. Самойлик, методист ОМЦ ЗОУКО, Москва

На уроке по теме «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал.

Приведу здесь лишь некоторые примеры таких задач.

Задачи из старинных русских рукописей

3. На охоте

240 скачков.

4. Воз сена

месяца.