Случайная величина х задана функцией распределения f. Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность вероятности

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называют первую производную от интегральной функции распределения: f(x)=F’(X). Из этого определения и свойств функции распределения следует, что

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число

Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством

Пример 79. Плотность распределения времени Т сборки РЭА на поточной линии

Найти коэффициент A , функцию распределения времени сбор­ки РЭА и вероятность того, что время сборки будет находиться в пределах интервала (0,1А).

Решение. На основании свойства функции распределения случайной величины

Дважды интегрируя по частям, получаем

Функция распределения равна

Вероятность того, что время сборки РЭА не выйдет за пре­делы (0; 1/λ):

Пример 80 . Плотность вероятности отклонения выходного сопротивления блока РЭА от номинального значения R 0 в пре­делах поля допуска 2δ описывается законом

Найти математическое ожидание и дисперсию отклонения со­противления от номинального значения.

Решение.

Поскольку подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, интеграл равен 0.

Следовательно, M {R } = 0.

Сделав подстановку r = a sin x , получим

Пример 81. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1. F(x); 2. M(X); 3. Д(X).

Решение. 1. Для отыскания F(x) используем формулу

Если
, то

а

Если
, то

Если
,то f(x)=0, а

3.

Дважды интегрируя по частям получим:

, тогда

82. Найти f(x), M(X), Д(X) в задачах 74, 75.

83. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

84. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством
. Найти постоянный параметр С.

85. Случайная величина X в интервале (-3, 3) задана плотностью распределения
; вне этого интервала

а) Найти дисперсию X;

б) что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или X>1?

86. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

87. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

§8. Равномерное и показательное распределения

Равномерным называют распределение непрерывной случайной величины X, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала равна нулю, т.е.

Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

где λ – постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

;
;

Пример 88. Цена деления шкалы амперметра равна 0,10А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале (0;0,1) между двумя целыми делениями. Следовательно,

Тогда
.

Пример 89. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что за время длительностью t=100 часов: a) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение. а) По определению
, следовательно она определяет вероятность отказа элемента за время t, поэтому

б) Событие «элемент не откажет» является противоположным рассмотренному, поэтому его вероятность

90. Радиоэлектронный блок собирается на поточной линии, такт сборки 2 мин. Готовый блок снимается с конвейера для контроля и регулировки в произвольный момент времени в пределах такта. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени нахождения готового блока на конвейере. Время нахождения блока на конвейере подчиняется зако­ну равномерного распределения случайных величин.

91. Вероятность выхода из строя РЭА за определенное время выражается формулой . Определить среднее время работы РЭА до выхода из строя.

92. Разрабатываемый спутник связи должен характеризоваться средним временем наработки на отказ 5 лет. Считая реальное время наработки на отказ случайной экспоненциально распределенной величиной, определите вероятность того, что

а) спутник проработает менее 5 лет,

б) спутник проработает не менее 10 лет,

в) спутник откажет в течение 6-го года.

93. Некий квартиросъемщик купил четыре лампочки накаливания со средним сроком службы 1000 ч. Одну из них он установил в настольную лампу, а остальные оставил про запас, на случай, если лампа перегорит. Определите:

а) ожидаемую суммарную продолжительность службы четырех ламп,

б) вероятность того, что четыре лампы в сумме проработают 5000 часов или более,

в) вероятность того, что общий срок службы всех ламп не превысит 2000 часов.

94. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

95. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

96. Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

97. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

98. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение
, второго
. Найти вероятность того, что за время длительностью t=6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

Плотностью распределения вероятностей Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x) :

Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима.

Плотность распределения вероятностей f(x) – называют дифференциальной функцией распределения:

Свойство 1. Плотность распределения - величина неотрицательная:

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

Пример 1.25. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

f(x) .

Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(x).

1.3. Числовые характеристики непрерывной случайной

величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

a,b ), то:

f(x) – плотность распределения случайной величины.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:

Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b ), то:

Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (a,b ), определяется равенством:

.

Пример 1.26. Непрерывная случайная величина Х

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадание случайной величины Х в интервале (0;0,7).

Решение: Случайная величина распределена на интервале (0,1). Определим плотность распределения непрерывной случайной величины Х :

а) Математическое ожидание :

б) Дисперсия

в)

Задания для самостоятельной работы:

1. Случайная величина Х задана функцией распределения:

M(x) ;

б) дисперсию D(x) ;

Х в интервал (2,3).

2. Случайная величина Х

Найти: а) математическое ожидание M(x) ;

б) дисперсию D(x) ;

в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;1,5).

3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

Найти: а) математическое ожидание M(x) ;

б) дисперсию D(x) ;

в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

1.4. Законы распределения непрерывной случайной величины

1.4.1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:

Рис. 4.

; ; .

Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.

Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .

Плотность вероятности: .

Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:

Задания для самостоятельной работы:

1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);

б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).

2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

где – параметр показательного распределения.

Таким образом

Рис. 5.

Числовые характеристики:

Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.

Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:

;

Искомая вероятность , где

Окончательно:

Задания для самостоятельной работы:

1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

2. Случайная величина Х

Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .

3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

1.4.3. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:

где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :

, где

– функция Лапласа.

Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности называется стандартным.

Рис. 6.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :

.

В частности, при а= 0 справедливо равенство:

Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Решение: .

Задания для самостоятельной работы:

1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).

3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

.

Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

для , то

при ;

при ;

при ;

при ;

Соответствующий график:

Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.

4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.

3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.

Пример 2 . Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$

Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$

Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$

9. Непрерывная случайная величина, её числовые характеристики

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью двух функций. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция , определённая равенством
.

Интегральная функция даёт общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В случае непрерывной случайной величины . Все события: имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.. Например, для дискретной случайной величины, заданной в примере 26, имеем:

Таким образом, график интегральной функции рассматриваемой функции представляет собой объединение двух лучей и трёх отрезков, параллельных оси Ох.

Пример 27 . Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей

.

Построить график интегральной функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (0,5;1,5).

Решение. На интервале
графиком является прямая у = 0. На промежутке от 0 до 2 – парабола, заданная уравнением
. На интервале
графиком является прямая у = 1.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение в интервале (0,5;1,5) находим по формуле .

Таким образом, .

Свойства интегральной функции распределения вероятностей:

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, а именно, функции плотности вероятности
.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадает в интервал
, определяется равенством
.

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми
.

Свойства функции плотности вероятности :

9.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание (средним значением) непрерывной случайной величины Х определяется равенством
.

М(Х) обозначают через а . Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает аналогичными, как и дискретная величина, свойствами:

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е. . Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется формулой
.

Дисперсия обладает свойствами:

Последнее свойство очень удобно применять для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.

Аналогично вводится и понятие среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии, т.е.
.

Пример 28 . Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией плотности вероятностей
в интервале (10;12), вне этого промежутка значение функции равно 0. Найти 1) значение параметра а, 2) математическое ожидание М(Х), дисперсию
, среднее квадратическое отклонение, 3) интегральную функцию
и построить графики интегральной и дифференциальной функций.

1). Для нахождения параметра а используем формулу
. Получим . Таким образом,
.

2). Для нахождения математического ожидания используем формулу: , откуда следует, что
.

Дисперсию будем находить по формуле:
, т.е. .

Найдём среднее квадратическое отклонение по формуле: , откуда получим, что
.

3). Интегральная функция выражается через функцию плотностей вероятностей следующим образом:
. Следовательно,
при
, = 0 при
и = 1 при
.

Графики этих функций представлены на рис. 4. и рис. 5.

Рис.4 Рис.5.

9.2. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х равномерно на интервале , если её плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне этого интервала, т.е. . Легко показать, что в этом случае
.

Если интервал
содержится в интервале , то
.

Пример 29. Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между часом дня и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х. Найти вероятность того, что сигнал будет зафиксирован между двумя и тремя часами дня.

Решение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение, и по формуле найдём, что вероятность того, что сигнал будет между 2 и 3 часами дня, равна
.

В учебной и другой литературе часто обозначают в литературе через
.

9.3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности
. Для таких величин а – математическое ожидание,
- среднее квадратическое отклонение.

Теорема. Вероятность попадания нормально распределённой непрерывной случайной величины в заданный интервал
определяется по формуле
, где
- функция Лапласа.

Следствием этой теоремы является правило трёх сигм , т.е. практически достоверно, что нормальна распределённая, непрерывная случайная величина Х принимает свои значения в интервале
. Это правило выводимо из формулы
, являющейся частным случаем сформулированной теоремы.

Пример 30. Срок работы телевизора представляет собой случайную величину Х, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантийным сроком 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам. Найти вероятность того, что телевизор проработает от 10 до 20 лет.

Решение. По условию задачи математическое ожидание а = 15, среднее квадратическое отклонение .

Найдём . Таким образом, вероятность работы телевизора от 10 до 20 лет более 0,9.

9.4.Неравенство Чебышева

Имеет место лемма Чебышева . Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного в
.

Учитывая, что , как сумма вероятностей противоположных событий, получим, что
.

Теорема Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию
и математическое ожидание М(Х), то для любого положительного справедливо неравенство
.

Откуда следует, что
.

Пример 31. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины деталей равна100 см., а среднее квадратическое отклонение равно 0,4см. Оценить снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 99см. и не более 101см.

Решение. Дисперсия . Математическое ожидание равно 100. Следовательно, для оценки снизу вероятности рассматриваемого события
применим неравенство Чебышева , в котором
, тогда
.

10. Элементы математической статистики

Статистической совокупностью называют множество однородных предметов или явлений. Число п элементов этого множества называется объёмом совокупности. Наблюдаемые значения признака Х называют вариантами . Если варианты расположены в возрастающей последовательности, то получен дискретный вариационный ряд . В случае группировки вариант по интервалам получается интервальный вариационный ряд . Под частотой т значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.

Отношение частоты к объёму статистической совокупности называют относительной частотой признака:
.

Соотношение между вариантами вариационного ряда и их частотами называют статистическим распределением выборки . Графическим представлением статистического распределения может служить полигон частот.

Пример 32. Путём опроса 25 студентов первого курса получены следующие данные об их возрасте:
. Составить статистическое распределение студентов по возрасту, найти размах варьирования, построить полигон частот и составить ряд распределения относительных частот.

Решение. Используя данные, полученные при опросе, составим статистическое распределение выборки

Размах выборки варьирования равен 23 – 17 = 6. Для построения полигона частот, строят точки с координатами
и последовательно их соединяют.

Ряд распределения относительных частот имеет вид:

10.1.Числовые характеристики вариационного ряда

Пусть выборка задана рядом распределения частот признака Х:

Сумма всех частот равна п.

Средним арифметическим выборки называют величину
.

Дисперсией или мерой рассеяния значений признака Х по отношению к его среднему арифметическому называют величину
. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии, т.е. .

Отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации :
.

Эмпирической функцией распределения относительных частот называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события
, т.е.
, где - число вариант, меньших х , а п – объём выборки.

Пример 33. В условиях примера 32 найти числовые характеристики
.

Решение. Найдём среднее арифметическое выборки по формуле , тогда .

Дисперсия признака Х находится по формуле: , т. е. . Среднее квадратическое отклонение выборки равно
. Коэффициент вариации равен
.

10.2. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал

Пусть проводится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р . В этом случае вероятность того, что относительная частота будет отличаться от вероятности появления события А в каждом испытании по абсолютной величине не больше, чем на , приближённо равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа:
.

Интервальной оценкой называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности.

Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью покрывает оцениваемый параметр статистической совокупности. Рассматривая формулу , в которой заменим неизвестную величину р на её приближённое значение , полученное по данным выборки, получим:
. Эта формула служит для оценки вероятности по относительной частоте. Числа
и
называют нижней и соответственно верхней доверительными границами , - предельной погрешностью для данной доверительной вероятности
.

Пример 34 . Заводской цех выпускает электрические лампочки. При проверке 625 ламп оказалось 40 бракованных. Найти с доверительной вероятностью 0,95 границы, в которых заключён процент брака лампочек, выпускаемых заводским цехом.

Решение. По условию задачи . Используем формулу
. По таблице 2 приложения находим значение аргумента, пи котором значение интегральной функции Лапласа равно 0,475. Получим, что
. Таким образом, . Следовательно, можно сказать с вероятностью 0,95, что доля выпускаемого брака цехом высока, а именно, изменяется в пределах от 6,2% до 6,6%.

10.3. Оценка параметров в статистике

Пусть количественный признак Х всей исследуемой совокупности (генеральной совокупности) имеет нормальное распределение.

Если среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а

, где п – объём выборки, - выборочная средняя арифметическая, t – аргумент интегральной функции Лапласа, при котором
. При этом число
называют точностью оценки.

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с п – 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром п и не зависит от неизвестных а и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок
даёт вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а этого признака с заданной доверительной вероятностью , находится из условия

, где S – исправленное среднее квадратическое, - коэффициент Стьюдента, находится по данным
из таблицы 3 приложения.

Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение этого признака с доверительной вероятностью , находится по формулам: и , где
находится по таблице значений q по данным .

10.4. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами

Корреляционной зависимостью У от Х называют функциональную зависимость условной средней от х. Уравнение
представляет уравнение регрессии У на Х, а
- уравнение регрессии Х на У.

Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид:
, где угловой коэффициент а прямой линии регрессии У на Х называется выборочным коэффициентом регрессии У на Х и обозначается
.

При малых выборках данные не группируются, параметры
находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

, где п – число наблюдений значений пар взаимосвязанных величин.

Выборочный линейный коэффициент корреляции показывает тесноту связи У и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле
, причём
, а именно:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид:

.

При большом числе наблюдений признаков Х и У составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х наблюдается раз, одно и то же значение у наблюдается раз, одна и та же пара
наблюдается раз.

Пример 35. Дана таблица наблюдений признаков Х и У.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х.

Решение. Связь между изучаемыми признаками может быть выражена уравнением прямой линии регрессии У на Х: . Для вычисления коэффициентов уравнения составим расчётную таблицу: