Почему можно делить на 0. Почему нельзя делить на ноль

Вот, дети озадачили, пришлось покопаться в тырнетах, обнаружить кучу явно бредовых объяснений и слепить свое, тоже видимо несовершенное, на младшем десятилетнем успешно опробованное. Может кому пригодится:
"Ещё со школы все знают что на ноль делить нельзя. А почему? Учительница не разрешает?

Может быть надо действовать по анекдоту:

Ты почему пьешь коньяк? Тебе же доктор запретил.

А я ему денег дал и он мне разрешил.

Удивительно, почему в школе сразу же не объясняют, что деление на ноль — математическое действие из области высшей математики, но невозможное в элементарной математике из-за возникающей при этом неопределённости. Кстати, у множение на ноль тоже из высшей математики, то есть снова из серии "дети, это нельзя понять, это надо просто запомнить".

На самом деле всё это не так сложно понять. В элементарной математике получаются вполне определенные результаты, например 2х3=6, и если разделить результат на один из сомножителей, то мы совершенно чётко получим второй сомножитель: 6:3=2 или 6:2=3.

А вот действия с нолём не такие однозначные. Любое число "игрек" умножаем на ноль: Yх0=0. Теперь делим результат на один из сомножителей 0:Y=0 или 0:0=Y получая любое число, то есть неопределенный результат.

Почему так происходит? К пониманию этого можно приблизиться, даже не залезая в дебри высшей математики с теориями множеств, операциями с бесконечностью, комплексными числами и проч.

Удивительно, но так же как и с неправильной "таблицей умножения" , в школе почему-то не объясняют элементарные вещи: числа бывают количественные (кардинальные) и порядковые (ординальные). Например, понятия " 10 квартир" - количественное и "квартира № 10" - порядковое, совершенно очевидно резко различаются . Количественное "10 квартир" можно делить, складывать и производить другие действия по правилам элементарной математики, которые дадут совершенно определенный количественный результат.

А вот порядковое число 10 (квартира № 10) при тех же действиях не даст никакого количественного результата, квартира все равно будет одна, только другая. Математические действия с порядковыми числами бывают нужны, например, когда требуется сразу вычислить на каком этаже находится нужная вам квартира и не кататься на лифте "методом тыка". Смотрим последний номер квартиры в предыдущем подъезде, вычитаем из нужного нам номера квартиры и делим результат на число квартир на этаже. Profit!

Образно говоря, если вы не понимаете разницы между количественными и порядковыми числами, то при сложении 10-ти квартир и квартиры № 10 у вас может получиться и 20 квартир и квартира № 20.

Так вот ноль - совершенно особое порядковое (ординальное) число, которое по определению не может быть количественным. Ноль - главная точка отсчета, граница, не имеющая размера. Причем именно точка, а не отрезок.

Геометрическое представление любых натуральных и мнимых (отрицательных) чисел - отрезки, то есть части прямой линии, ограниченные точками, не имеющими размера. Если их как и отрезки можно делить на сколь угодно мельчайшие отрезки, то точку делить в элементарной математике уже невозможно по её определению как не имеющей размера.

Отсюда, кстати, и нюансы со временем. Следует отличать обозначение момента, точки на шкале времени и временнОй промежуток - отрезок на этой шкале между нолем и обозначенной точкой момента времени. Например, когда говорят о возрасте, то одновременно имеется в виду и сколько лет прожил, и который год идёт, на каком году жизни. А вот спрашивать текущее время надо " который час " (порядковое), а не "сколько времени" (количественное), ведь "сколько времени" относится к продолжительности каких-то процессов - приготовления еды, движения и т.п.

Деление на 0 вызывает множество вопросов у тех людей, которые занимались математикой и имели с нею контакт лишь на этапе школьного образования. Во время того, когда ребенок начинает изучать в целом операции умножения и деления, подходит дело и к делению на ноль. В этот момент учитель говорит, чаще всего, что делить на ноль нельзя и… все.

Объяснения на этом этапе окончены. Нельзя, и хоть ты тресни

Перед учеником становится дилемма - верить учителям на слово и просто писать, что ответа в примере, где всплывает такая операция, нет, или попытаться разобраться в этом вопросе. Но большинство родителей, которые давным-давно окончили школу и благополучно выбросили на помойку головного мозга все те знания, которые вдалбливались им в школьное время (кроме тех, которые хоть как-то пригодились им в жизни), тоже не особо могут помочь в этом вопросе. А выход сравнительно прост. Хорошо, если учитель подойдет к вопросу, почему нельзя делить на ноль, с творческой стороны. Для этого достаточно будет произвести обычные операции с наглядной демонстрацией процесса. О чем речь?

Демонстрация разных операций деления с помощью понятных любому человеку действий

Можно взять несколько яблок, допустим, шесть штук, и объяснить, что 6 - это число, которое нужно разделить, то есть, согласно изученным математическим терминам, это делимое.

Учитель стоит возле доски, и перед ним на столе лежит 6 яблок. Затем он подзывает двоих человек из класса и делит между ними эти яблоки поровну. То есть два человека в данном случае выступают за делитель - число, на которое следует разделить делимое. Каждому ученику учитель отдаёт в руки по три яблока. То есть процесс деления происходит именно тогда, когда учитель передавал яблоки в руки ученикам. И три яблока в руках у каждого ребенка - это частное от деления.

Деление нуля на число - демонстрация происхождения процесса

Вопрос, почему нельзя делить на ноль, возникает от обратной ситуации - почему же можно делить ноль на число? Это сейчас мы умные и знаем, что любое число можно поделить на другое, и оно будет делиться нацело или появится дробь, или даже отрицательный знак, корень или число Пи - все возможно. Но вот с нулем загадка и все.

Что же происходит, когда делят нуль на число?

Для того чтобы объяснить, что на ноль делить нельзя, разберемся сначала с тем, что происходит, когда 0 делится на определенное число. Тот же учитель стоит возле доски, и у него на столе ничего нет. Перед ним пустота, ноль. Когда ученики подходят к нему и протягивают руки, чтобы получить свое частное, учитель делится с ним этим ничем, просто прикасаясь к их ладоням. То есть у него было одно большое ничего, и он отдал это ничего двум ученикам. Таким образом, становится понятно, что и деление нуля на любое число имеет место, ведь процесс передачи состоялся. С той только разницей, что с нулевым результатом.

Случай третий

Аналогичную, третью ситуацию проводить нужно уже для того, чтобы показать, почему нельзя делить на ноль. У учителя в руках или на столе перед ним снова те самые шесть яблок, что и в первой ситуации. Но мы делим на ноль, потому к нему за яблоками никто не подходит.

То есть те двое учеников, которые подходили ранее в первой ситуации, представляли собой число 2. Чтобы представить число 0, получается, что должен подойти никто. Как мы помним, именно передача из рук учителя яблок в руки ученикам является процессом деления. Но сейчас учеников нет, и процесс деления ни с кем не происходит. От того и получается, что поделить на ноль невозможно. Для детей на уровне школьного образования это элементарное объяснение.

Просто и легко объяснить. А после пусть делают то же самое преподаватели института

Уже после поступления в высшее учебное учреждение и изучения понятия границы, например, снимается вопрос, почему нельзя делить на ноль, ведь окажется, что сделать это можно. Поделив что-то на ноль, в результате мы получим бесконечность, неопределенность.

Бесконечная размерность такого результата еще не до конца определена, и человек, который не имеет особого математического образования, не способен понять, зачем это нужно, какие цели преследовались при решении данной операции и что вообще это дает. Но для учеников школьного возраста вышеописанного объяснение вполне достаточно, чтобы удовлетворить их желание понять, почему же все же нельзя делить на ноль - не просто сказать это и поставить детей перед фактом, а дать им интересное и занимательное объяснение.

Почему нельзя делить на ноль? April 16th, 2018

Итак, недавно мы обсуждали . А вот еще интересное утверждение. «Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?». Вот что будет, если

А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними.

В школе нас всех учат простому правилу, что делить на ноль нельзя. При этом, когда мы задаем вопрос: «Почему?», нам отвечают: «Это просто правило и его надо знать». В этой статье я постараюсь вам объяснить, почему нельзя делить на ноль. Почему не правы те люди, которые говорят, что на ноль делить можно и тогда получится бесконечность.

Почему нельзя делить на ноль?

Формально, в математике, существует только два действия. Сложение и умножение чисел. Ну что же тогда с вычитанием и делением? Рассмотрим такой пример. 7-4=3, все мы знаем, что семь минус четыре будет равняться трём. На самом деле этот пример можно, формально, рассматривать, как способ решить уравнения x+4=7. То есть, мы подбираем такое число, которое в сумме с четверкой даст 7. Тогда мы не долго подумаем и поймем, что это число равно трём. То же самое с делением. Допустим 12/3. Это будет то же самое, что и х*3=12.

Мы подбираем такое число, которое при умножении на 3 даст нам 12. В данном случаем это получится четыре. Это достаточно очевидно. Что же с примерами вида 7/0. Что будет если мы запишем семь делить на ноль? Это значит, что мы, как будто, решаем уравнение вида 0*х=7. Но это уравнение не имеет решения, ведь если ноль умножить на любое число, то получиться всегда ноль. То есть решения нет. Это записывают либо словами решений нет, либо значком, который означает пустое множество.

Другими словами

Вот смысл этого правила. Делить на ноль нельзя, потому что соответствующее уравнение, ноль умножить на икс равное семи или любому числу, которое мы пытаемся делить на ноль, не имеет решений. Самые внимательные могут сказать, что если мы поделим ноль на ноль, то получится достаточно справедливо, что, если 0*X=0. Все замечательно, ноль умножаем на какое-то число, получаем ноль. Но тогда у нас решением может быть любое число. Если мы посмотрим х=1, 0*1=0, х=100500, 0*100500=0. Здесь подойдет любое число.

Так почему мы должны выбирать какое-то одно из них? У нас действительно нет каких-то соображений, по которым мы можем взять из этих чисел выбрать одно и сказать, что это решения уравнений. Поэтому решений бесконечно много и это тоже неоднозначная задача, в которой считается, что решений нет.

Бесконечность

Выше я рассказал вам причины, по которым делить нельзя, теперь хочу поговорить с вами о . Давайте попробуем с осторожностью подойти к операции деления на ноль. Поделим число 5 сначала на два. Мы знаем, что получится десятичная дробь 2.5. Теперь уменьшим делитель и поделим 5 на 1, будет 5. Теперь 5 мы поделим на 0,5. Это то же самое, что и пять поделим на одну вторую, или то же самое, что и 5*2, то будет 10. Обратите внимание, результат деления, то есть частное, увеличивается: 2,5, 5, 10.

Теперь давайте поделим 5 на 0.1, это будет то же самое, что и 5*10=50, частная снова увеличилась. При этом делитель мы уменьшали. Если мы поделим 5 на 0.01, это будет, то же самое, что и 5*100=500. Смотрите. Чем меньше мы делаем делитель, тем больше становится частное. Если мы 5 поделим на 0.00001, получиться 500000.

Подведем итог

Что же тогда такое деление на ноль, если смотреть вот в этом смысле? Заметим, как мы уменьшали наше частное? Если нарисовать ось, то на ней видно, что у нас сначала была двойка, потом единичка, потом 0.5, 0.1, и так далее. Мы приближались к нолю все ближе и ближе справа, но до ноля мы так и не дошли. Берем все меньше и меньше число и делим на него наше частное. Становится все больше и больше. В данном случае пишут, что мы делим 5 на Х, где икс бесконечно мал. То есть он становиться все ближе и ближе к нолю. Вот как раз-таки в этом случае при делении пятерки на Х мы получим бесконечность. Бесконечно большое число. Здесь возникает нюанс.

Если мы приближаемся к нолю справа, то это бесконечно мало у нас будет положительным, и мы получаем плюс бесконечность. Если же мы приближаемся к иксу слева, то есть если мы сначала поделим на -2, потом на -1, на -0.5, на -0.1 и так далее. У нас будет получаться отрицательное частное. И тогда пять деленное на икс, где икс будет бесконечно малым, но уже слева, будет равно минус бесконечности. В данном случае пишут: икс стремится к нолю справа, 0+0, показывая, что к нолю мы стремимся справа. Допустим если мы к тройке стремились справа, в данном случае пишут икс стремится слева. Соответственно к тройке мы бы стремились слева, записывая это как икс стремится к 3-0.

Как график функций может помочь

Понять это лучше помогает график функции, который мы проходили еще все в школе. Функция называется обратная зависимость, а график её это гипербола. Выглядит гипербола следующим образом. Это кривая, асимптотами которой являются ось икс и игрек. Асимптота-это прямые, к которым кривая стремится, но никогда их не достигнет. Такая вот математическая драма. Мы видим, что чем ближе мы подходим к нолю, тем больше становится наше значение игрек. Чем меньше становится икс, то есть, при стремлении, иксе к нолю справа игрек становиться все больше и больше, и устремляется в плюс бесконечность. Соответственно, при стремлении к нолю слева, когда икс стремится к нолю слева, т.е икс стремиться к 0-0, игрек стремится у нас к минус бесконечности. По-правильному это записывается так. Игрек стремится к минус бесконечности, при Х стремящимся к нолю слева. Соответственно мы запишем игрек стремится к плюс бесконечности, при иксе стремящимся к нолю справа. То есть, по сути, мы не делим на ноль, мы делим на бесконечно малую величину.

И те, кто говорят, что делить на ноль можно, мы просто получим бесконечность, они просто имею в виду, что делить можно не на ноль, а можно делить на число близкое к нолю, то есть на бесконечно малую величину. Тогда мы получим плюс бесконечность, если мы делим на бесконечно малое положительное и минус бесконечность мы делим на бесконечно малое отрицательное.

Я надеюсь, что эта статья помогла вам разобраться в вопросе, который мучает большинство с детства, почему же нельзя делить на ноль. Почему нас заставляют учить какое-то правило, а ничего не объясняют. Надеюсь статья помогла вам разобраться в том, что действительно на ноль делить нельзя, а те, кто говорят, что на ноль делиться можно, на самом деле имеют в виду, что можно делить на бесконечно малую величину.

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.