«Арифметические способы решения текстовых задач». Видеоурок «Арифметический способ решения текстовых задач

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1.1 Понятие текстовой задачи

1.2 Виды арифметических задач

1.3 Роль задачи в математике

1.4 Этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач

2.4 Задачи на проценты

2.5 Задачи на совместную работу

Заключение

Литература

Введение

Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума. У.У. Сойер

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, т. е. развивает естественный язык. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые задачи -- традиционно трудный, для значительной части школьников, материал. В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения, выполнить проверку полученного результата.

Цель моей выпускной работы -- исследование методики обучения решению текстовых задач арифметическим способом, рассмотреть структуру текстовой задачи, этапы решения задач арифметическим методом, показать трудности при решении задач, умение преодолевать эти трудности, применение арифметического способа решения текстовых задач из личной практики.

Объектом изучения является учебно-воспитательный процесс на уроках математики.

Задачи работы:

– проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме; изучить научно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовых задач;

– рассмотреть характеристику текстовой задачи и методику работы с ней;

– показать применение арифметического способа при решении текстовых задач.

Структура работы. Моя работа состоит из введения, глав “Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней“ и “Обучение школьников приемам решения текстовых задач арифметическим способом“, заключения. В первой главе я рассмотрела понятие текстовой задачи, типы задач, что значит решить задачу, этапы процесса решения задачи арифметическими методами.Во второй главе я рассмотрела решение арифметическим способом текстовых задач на примере задач на движение, на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби, задач на процентные расчеты, на совместную работу; задачи, решаемые с помощью таблиц, среднее арифметическое в задачах. Старалась показать методику обучения учащихся решению текстовых задач, их место в учебно-воспитательном процессе на уроке. В своей работе я хочу показать конкретное применение арифметических способов решения текстовых задач, используя свой личный опыт.

По данной проблеме достаточно литературы. Проанализируя некоторые из них, хотелось бы отметить книгу С. Лукьяновой «Розв"язування текстових задач арифметичними способами». В книге рассматриваются разные арифметические способы решения текстовых задач и предлагаются оригинальные методики обучения этому учащихся 5-6-х классов. Автор рассматривает около 200 задач разных уровней сложности, к большинству которых предложено решение (к некоторым - несколько способов), каждое из которых реализуется только с помощью арифметических действий. В книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя», автор Шевкин А.В., подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям математического образования, о необходимости отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения. В учебном пособии Фридмана Л.М. «Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика» говорится, что при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач и есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики.

В работе использовала материалы учебно-методической газеты «Математика» №23 - 2005 (Издательский дом «Первое сентября»), «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» (М.Е.Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград, 2008г.), Методические рекомендации для 5-6 классов, Дидактические материалы для 5-6 классов (М.К.Потапов, А.В. Шевкин) и другие.

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

решение текстовый задача арифметический

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

1.1 Понятие текстовой задачи

Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми. В них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий, поэтому их часто называют сюжетными. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче и учитывая их» - отметил Л.М. Фридман в своей работе «Сюжетные задачи по математике».

Текстовая задача -- есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Текстовые задачи могут быть абстрактного содержания, когда в тексте зависимости между числами описаны словесно (Найти два числа, если одно из них на 18 больше другого, а их сумма равна 80) или с определенным сюжетом (Билет для входа на стадион стоил 160 руб. После того, как плату за вход снизили, количество зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоит билет после снижения платы за вход?).

Каждая задача -- это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача -- это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ним определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса), причем условия и требования взаимосвязаны.

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи -- это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найдите скорость велосипедистов или « Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?»). Требований в задаче может быть несколько.

Рассмотрим задачу: Свитер,шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Объекты задачи: шарф, шапка, свитер. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: Свитер, шапка, шарф связаны из 1200 г шерсти.

На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования: Сколько шерсти израсходовали на свитер?

Сколько шерсти израсходовали на шапку?

Сколько шерсти израсходовали на шарф?

В задаче три неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Сколько литров воды в каждой бочке, если в первой на 48 л больше, чем в другой?» - недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения ее в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

1.3 Роль задачи в математике

Значительное место в математике занимают текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, используются в целях уяснения доли, помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач -- упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но ипрокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.4 Этапы решения тестовых задач и приемы их выполнения

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи, процесс нахождения результата. Причем этот процесс рассматривается двояко: метод нахождения результата и последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод. То есть в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу. Основными методами решения текстовых задач является арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим способом -- это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решение задач -- это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Рассмотрим пример: «Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот отработав 7 месяцев, захотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?».

Решение задачи: работник не получил 12 -- 5 = 7 (руб) за 12 - 7 = 5(месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7: 5 = 1,4 (руб),

а за 7 месяцев он получил 7 * 1,4 = 9,8 (руб),

тогда кафтан стоил 9,8 -- 5 = 4,8 (руб).

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рублей.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

В расширенном виде решение текстовой задачи можно представить как последовательность таких этапов:

1) анализ задачи;

2) построение модели;

3) поиск способа решения (составление плана решения);

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) исследование задачи и ее решения;

7) формулирование ответа;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Чаще всего реализуется только четыре этапа: анализ задачи, составление плана решения, запись решения, формулирование ответа, а на всех этапах останавливаются только при решении сложных, проблемных задач или задач, которые имеют определенные обобщающе -- теоретическое значение.

Анализ задачи всегда направлен на ее требование.

Цели этапа: - понять ситуацию, описанную в задаче;

Выделить условия и требования;

Назвать известные и искомые объекты;

Выделить все отношения (зависимости) между ними.

Чтобы разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования, нужно задать специальные вопросы:

1. О чем задача?

2. Что требуется найти в задаче?

3. Что означают те или иные слова в тексте задачи?

4. Что в задаче неизвестно?

5. Что является искомым?

Рассмотрим пример: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ задачи: 1) О чем эта задача?

Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т. е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

В задаче известно: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2км до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

В задаче неизвестно: а) время, за которое второй мальчик догонит первого (время движения всех его участников);

б) с какой скоростью происходит сближение мальчиков;

в) расстояние, которое пробежала собака (это требуется узнать в задаче).

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины -- расстояние, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает прием -- перефразировка текста задачи. То есть из текста задачи отбрасывается все лишнее (не существенное), а описания некоторых понятий заменяют соответствующими терминами и наоборот заменяют некоторые термины описанием содержания соответствующих понятий.

Перефразировка текста задачи -- преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Для удобства понимания задачи можно ее записать в виде таблицы или схематического чертежа. И таблица и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения. После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.

Поиск плана решения задачи

Цели этапа: установить связь между данными и исходными объектами;

наметить последовательность действий.

План решения задачи -- это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке. Разбор по тексту задачи: « На поезде, который шел со скоростью 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения от данных к вопросу: известно: 6ч турист ехал на поезде;

скорость поезда 56км/ч.

По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч (скорость умножить на время). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза)). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можно найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути.

Итак действия: 1) расстояние,которое турист проехал на поезде;

2) расстояние, которое ему осталось проехать; . 3) весь путь.

Рассуждение от вопроса к данным: В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь.

Осуществление плана решения задачи:

Цель этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решающих арифметическим способом, используются следующие приемы:

Запись по действиям(с пояснением, без пояснения, с вопросами);

Запись в виде выражения.

а) Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию: 1) 56*6 = 336(км) -- турист проехал за 6ч.

2) 336*4 = 1344(км) -- осталось проехать туристу;

3) 336 + 1344 = 1680(км) -- должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей: 1) 56 * 6 = 336(км);

2) 336 * 4 = 1344(км);

3) 336 + 1344 = 1680(км)

б) Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров турист проехал на поезде?

56 * 6 = 336(км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?

336 * 4 = 1344(км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680(км)

Проверка решения задачи:

Цель этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;

2) способ решения задач с «конца»;

3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;

4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;

5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

(замена большего неизвестного меньшим)

1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).

3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)

1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).

3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);

б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)

2) Сколько книг было на второй полке?

168: 4 = 42 (книг)

3) Сколько книг было на первой полке?

42 + 16 = 58 (книг)

4) Сколько книг было на третьей полке?

42 + 8 = 50 (книг)

5) Сколько книг было на четвертой полке?

50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).

2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).

3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).

4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);

2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:

12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,

12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.

2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).

3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).

5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).

6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).

7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия

2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,

2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.

2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).

3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).

5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется
25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса.

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости».В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет).Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться и в одном направлении.и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

При разборе задачи даются следующие вопросы

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием).

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления).

Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой -- 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся навстречу друг другу, то это скорость сближения.

1. 100 + 50 = 150 (км/ч) - скорость сближения.

2. 600: 150 = 4 (ч) - время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа.

Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из дома на дачу одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5км/ч, а скорость мальчика 3км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика (скорость удаления).

1. 5 -- 3 = 2 (км/ч) - скорость удаления.

2. 2*2 = 4 (км/ч) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2 часа

Ответ: 4 км.

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы.

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример№1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько марок у второго?

Учащиеся поднимают карту №1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше»

Пример №2. У второго мальчика 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого мальчика?

Учащиеся должны поднять карту №4 и ответить: 10 марок, так как 30:3 =10. Опорные слова - «в...меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример №3. Всадник проехал 80км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость велосипедиста находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал: а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь 3/4 обозначает, что данное разделили на 4 равные части и взяли 3 части. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь 5/6. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем 1/4. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью 4/4. После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь 1/3 они накладывают 2/6 и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют 2/3 всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Вопрос: Что означает дробь 2/3?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

40*2 = 80 (дер.) - было берез.

120 -- 80 = 40 (дер.) - было сосен.

II способ:

120: 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

3 -- 2 = 1 (часть) - составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.

Подобные документы

Обучение детей нахождению способа решения текстовой задачи на уроках математики. Роль арифметических задач в начальном курсе математики. Решение задач на совместное движение, на нахождение части числа и числа по части, на проценты, на совместную работу.

дипломная работа , добавлен 28.05.2008


Характеристика форм работы младших школьников на уроках математики. Использование различных форм работы в процессе решения текстовой задачи. Решение текстовых задач в начальной школе. Диагностика уровня сформированности умений школьников решать задачи.

дипломная работа , добавлен 04.09.2010


Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.

курсовая работа , добавлен 20.08.2010


Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.

дипломная работа , добавлен 24.02.2010


Сущность алгебраического метода решения текстовых задач. Типичные методические ошибки учителя при работе с ними. Решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г. Левитасу и В. Лебедеву. Анализ практического применения методики обучения их решению.

курсовая работа , добавлен 30.09.2010


Понятие задачи и ее решения. Решение задач выделением этапов математического моделирования. Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать алгебраическим способом. Задания по формированию умений составления математических моделей.

дипломная работа , добавлен 23.04.2011


Понятия компетенции и компетентности. Взгляды на реализацию компетентностного подхода в школе. Классификация и содержание ключевых образовательных компетенций. Ключевые компетенций на уроках математики в 5-6 классах. Примеры формирования компетенций.

дипломная работа , добавлен 24.06.2009


Понятие "текстовая задача" и ее структура. Процесс решения текстовых задач. Методические приемы, используемые в обучении решению. Формирование у учащихся обобщенных умений. Работа над текстовой задачей с использованием тетрадей с печатной основой.

курсовая работа , добавлен 16.03.2012


Значение арифметических задач для умственного развития детей. Виды математических задач и их классификация. Особенности усвоения детьми сущности задач. Методика и этапы обучения дошкольников решению задач. Арифметические задачи, составленные детьми.

контрольная работа , добавлен 18.12.2010


Подбор комплекса олимпиадных задач по математике для детей младшего школьного возраста. Структура и виды олимпиадных задач, способы их решения. Обучение детей умению и навыкам выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач.

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

1. 2600:2=1300 (г) - приходится на одну часть варенья;
2. 1300*3= 3900 (г) - сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть (книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:

1. 27*2=54 (ноги) - будут стоять на полу;
2. 74-54=20 (ног) - будут наверху;
3. 20:2=10 (кроликов);
4. 27-10=17 (фазанов).

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.

1. 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
2. 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
3. 21-2=19 (человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

1. 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
2. 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
3. 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
4. 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

1. 38-28=10 (лет) – Любе;
2. 23-10=13 (лет) – Наде;
3. 28-13=15 (лет) – Вере.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.

Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Задачи на пропорциональное деление.

Задачи на проценты и части.

Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют со­вершенно разные способы решения.

2 . К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины тре­буется найти эти значения.

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).

Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4

Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.

1  4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;

4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;

432: 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;

144  4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:

1  4 = 4(ч.);

4 – 1 = 3 (ч.);

432: 3 = 144 (п.);

144 + 432 = 576 (п.).

Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям , относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.

837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел пер­вый поезд;

589: 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;

837: 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;

4) 248: 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.

Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.

4) 27 –19 = 8 (ч.).

Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.

Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a )/ 2.

Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.

Сколько школьников изучает каждый из языков?

Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;

252: 2 = 126 (шк.) – изучают языки;

126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;

126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.

116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;

90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;

160: 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;

116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.

Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.

1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А х 1, х 2 , х 3 , ..., х n прямо пропорционально числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;

2112: 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;

96  6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;

96  4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;

96  5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;

96  7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.

Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.

2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К ним относятся задачи, в которых число А (зна­чение некоторой величины) нужно разделить на части x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„ обратно пропорционально числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .

Алгебраическая модель:

или

x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1

Ответ находится по формулам:

где S = а 2 а 3 ...а„ + a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.

Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?

Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.

Обозначим искомые доходы соответственно через х, х 2 , х 3 , х 4 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).

3. Сколько рублей приходится на одну часть?

1 925 000: 77 = 25 000 (р.).

4. Каков доход фермы в первом месяце?

25 000 30 = 750 000 (р.).

5. Каков доход фермы во втором месяце?

25 000 20 = 500 000 (р.).

6. Каков доход фермы в третьем месяце?

25 000– 12 = 300 000 (р.).

7. Каков доход фермы в четвертом месяце?

25 000– 15 = 375 000 (р.).

Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.

3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел

К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1 , х 2 , х 3 , ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:

х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .

п = 4. Алгебраическая модель:

х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .

Итак, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .

где S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3

Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении , а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?

Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х 1 , х 2 , х 3 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.

Запишем решение по действиям с пояснениями.

1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).

Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5):(3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3):(7-3) = 15: 21.

Из отдельных отношений составляем ряд отношений:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;

4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;

5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;

3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.

Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.

4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел

К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.

Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х 1 х 2 , х 3 прямо пропорциональны числам а 1 , а 2 , а 3 и обратно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебраическая модель:

(см. пункт 1 данного параграфа),

Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

8  3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;

6  6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;

24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;

1800: 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;

30  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

30  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.

5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)

Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 11.

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).

Запишем решение по действиям с пояснениями.

Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1  2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2  3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125  2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125  5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.

6) Задачи на исключение одного из неизвестных

К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, спосо­бом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».

Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?

Решение . Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи.

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

Департамент образования

Государственное учреждение Ярославской области

«Центр оценки и контроля качества образования»

«Арифметические способы

решения текстовых задач

по математике в 5-6 классах»

Методическая разработка

Ореховой Елены Юрьевны,

учителя математики

МОУ Крюковской ООШ

Мышкинского МО

Ярославской области.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

Ярославль, 2006

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….

ГЛАВА І Текстовые задачи и их типология…………………………… ..

1.1. Определение текстовой задачи………………………………………..

1.2 Роль текстовых задач в школьном курсе математики……………….

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач…………….

1.4. Этапы решения текстовых задач……………………………………...

ГЛАВА ІІ Методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом…………………………………………………..

2.1. Знания, умения учащихся по решению текстовых задач по

окончании начальной школы…………………………………………..

2.2. Планирование работы учителя по обучению учащихся решению

текстовых задач арифметическим способом…………………………

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи…….

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи……………..

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения…

2.3.3. Реализация плана решения……………………………………….

2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других

вариантов решения………………………………………………………….

2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы»……………..

2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса………

2.4.2 Формирование понятий о скорости протекания процесса

и его продукте (результате)………………………………………

2.4.3. Формирование понятия совместного действия………………….

2.5. Составление задач учащимися…………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………..

ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..

Введение.

В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые я затронула в этой работе.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике.

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.

С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.

«Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик.

Тем не менее, в методической литературе мало внимания уделяется арифметическим методам решения задач, поэтому целью моей работы является разработка методических материалов обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач арифметическим способом.

Для достижения этой цели передо мной встали следующие задачи:

Ø изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме;

Ø познакомиться с опытом работы учителей математики, использующих арифметический метод решения текстовых задач и проанализировать свой опыт работы в этом направлении;

Ø обосновать необходимость обучения учащихся решению текстовых задач в 5-6 классах;

Ø показать преимущество арифметических способов решения текстовых задач;

Ø разработать и представить методику обучения решению текстовых задач;

Ø представить анализ результатов обучения с использованием данного метода.

Методическая разработка состоит из введения, двух глав, заключения, приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяется цель работы и ставятся задачи. В 1-й главе даётся определение текстовой задачи, различные подходы к классификации задач, показана роль текстовых задач в курсе математики, а также раскрываются этапы решения задач арифметическим методом. Во 2-й главе даются методические рекомендации по обучению решению текстовых задач арифметическим методом; представляется работа учителя на каждом этапе решения задачи, более подробно раскрывается организация работы учителя по обучению решению задач «на процессы».

ГЛАВА І.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ТИПОЛОГИЯ.

1.1. Определение текстовой задачи.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача?

С точки зрения любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными).

Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике

1.2 . Роль текстовых задач в школьном курсе математики.

Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей:

Развивает логическое мышление;

Помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

Имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

так определяет роль текстовых задач в курсе математики:

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям , позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.

5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.

Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач.

Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами.

К середине ХХ века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая: задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и др. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но её реализация на практике не была свободна от недостатков. Вот как описывал академик практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране в то время: «Учеников – в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае… В итоге – полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» Но менять необходимо было не методику, а негодную практику её применения.

Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат). Указанные величины составляют сущность всех названных задач.

В самом деле, сравним следующие задачи:

1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по 4 ц на лошадей?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить 120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час?

4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350 литров нефти?

Все 4 задачи различного предметного содержания, но имеют одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия.

Таким образом, как писала в статье «Формирование общих приёмов решения арифметических задач»: «В основу типизации арифметических задач должны быть положены особенности отношений величин, представленных в условии задачи, а не сюжет.

Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему отношений, что разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Может быть найден способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разновидностям одного и того же типа

С другой стороны, открывается возможность перенести рассмотренный приём в курс физики, где он успешно может быть применён не только при изучении движения, но и при определении давления, плотности, механической мощности и др.»

1.3 Этапы решения текстовых задач.

Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних.

В методике обучения математике выделены

4 основных этапа процесса решения задачи:

1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;

2) осуществление поиска решения и составление плана решения;

3) реализация плана решения;

4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи.

Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи.

В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод . При этом ученик должен уметь:

1) переводить отношения между величинами на язык равенств;

2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Таблица 1.

Основные отношения и их перевод на язык равенств.

При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.

Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).

s=v t v=s:t t=s:v

Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.

Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:

1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.

2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.

3. Краткое пояснение полученных результатов действий.

4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.

5. Постановка полных вопросов с последующим решением.

На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.

На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.

Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»

ГЛАВА ІІ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.

К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса , предъявляемые программой.

Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий , отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел.

Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:

§ нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;

§ нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;

цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние;

§ нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:

2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.

Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.

Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.

Таблица 2

Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи , приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов .

1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)

2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.

3. Задачи на предположение.

4. Задачи на проценты.

5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.

6. Задачи на пропорциональные зависимости.

Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.

В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.

Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» и «Математика 5», «Математика 6» .

Поскольку я работаю по учебнику, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2).

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.

Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи.

На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа.

Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект.

В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

Например:

2. За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?

3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?

К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы.

4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб .

Оформить краткую запись можно с помощью таблицы:

5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения.

Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико - синтетический метод.

Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа.

Что для этого надо знать?

S, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа.

Что необходимо знать для определения этих расстояний?

- скорость каждого поезда, а это в задаче известно.

План решения следующий:

1) находим s, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа

2) находим s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа

3) находим общее расстояние.

Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача:

2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий ?

Краткая запись