Равномерное распределение. Случайная величина X имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке

[а, Ь. Равномерную плотность распределения случайной величины X (рис. 10.5, а) можно определить как:

Рис. 10.5. Равномерное распределение случайной величины: а - плотность распределения; б - функция распределения

Функция распределения случайной величины X имеет вид:

График функции равномерного распределения показан на рис. 10.5, б.

Преобразование Лапласа равномерного распределения вычислим по (10.3):

Математическое ожидание и дисперсия легко вычисляются непосредственно из соответствующих определений:

Аналогичные формулы для математического ожидания и дисперсии можно также получить с использованием преобразования Лапласа по формулам (10.8), (10.9).

Рассмотрим пример системы сервиса, которую можно описать равномерным распределением.

Движение транспорта на перекрестке регулируется автоматическим светофором, в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин - красный. Водители подъезжают к перекрестку в случайные моменты времени с равномерным распределением, не связанным с работой светофора. Найдем вероятность того, что автомобиль проедет перекресток, не останавливаясь.

Момент проезда автомобиля через перекресток распределен равномерно в интервале 1 + 0,5 = 1,5 мин. Автомобиль проедет через перекресток, не останавливаясь, если момент проезда перекрестка попадает в интервал времени . Для равномерно распределенной случайной величины в интервале вероятность попадания в интервал равна 1/1,5=2/3. Время ожидания Г ож есть смешанная случайная величина. С вероятностью 2/3 она равна нулю, а с вероятностью 0,5/1,5 принимает любое значение между 0 и 0,5 мин. Следовательно, среднее время и дисперсия ожидания у перекрестка

Экспоненциальное (показательное) распределение. Для экспоненциального распределения плотность распределения случайной величины можно записать как:

где А называют параметром распределения.

График плотности вероятности экспоненциального распределения дан на рис. 10.6, а.

Функция распределения случайной величины с экспоненциальным распределением имеет вид

Рис. 10.6. Экспоненциальное распределение случайной величины: а - плотность распределения; б - функция распределения

График функции экспоненциального распределения показан на рис. 10.6, 6.

Преобразование Лапласа экспоненциального распределения вычислим по (10.3):

Покажем, что для случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, математическое ожидание равно среднеквадратическому отклонению а и обратно параметру А,:

Таким образом, для экспоненциального распределения имеем: Можно также показать, что

т.е. экспоненциальное распределение полностью характеризуется средним значением или параметром X .

Экспоненциальное распределение обладает рядом полезных свойств, которые используются при моделировании систем сервиса. Например, оно не имеет памяти. Когда , то

Другими словами, если случайная величина соответствует времени, то распределение оставшейся длительности не зависит от времени, которое уже прошло. Данное свойство иллюстрирует рис. 10.7.

Рис. 10.7.

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой можно описать экспоненциальным распределением.

При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время работы прибора Т от его включения до возникновения неисправности распределено по экспоненциальному закону с параметром X. При обнаружении неисправности прибор сразу поступает в ремонт, который продолжается время / 0 . Найдем плотность и функцию распределения промежутка времени Г, между двумя соседними неисправностями, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что время Т х будет больше 2t 0 .

Так как ,то

Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Из (10.48) следует, что нормальное распределение определяется двумя параметрами - математическим ожиданием т и дисперсией а 2 . График плотности вероятности случайной величины с нормальным распределением при т= 0, а 2 =1 показан на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Нормальный закон распределения случайной величины при т = 0, ст 2 = 1: а - плотность вероятности; 6 - функция распределения

Функция распределения описывается формулой

График функции распределения вероятности нормально распределенной случайной величины при т = 0, а 2 = 1 показан на рис. 10.8, б.

Определим вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, р):

где - функция Лапласа, и вероятность того,

что абсолютное значение отклонения меньше положительного числа 6:

В частности, при т = 0 справедливо равенство:

Как видно, случайная величина с нормальным распределением может принимать как положительные значения, так и отрицательные. Поэтому для вычисления моментов необходимо использовать двустороннее преобразование Лапласа

Однако этот интеграл не обязательно существует. Если он существует, вместо (10.50) обычно используют выражение

которое называют характеристической функцией или производящей функцией моментов.

Вычислим по формуле (10.51) производящую функцию моментов нормального распределения:

После преобразования числителя подэкспоненциального выражения к виду получим

Интеграл

так как является интегралом нормальной плотности вероятности с параметрами т + so 2 и а 2 . Следовательно,

Дифференцируя (10.52), получим

Из данных выражений можно найти моменты:

Нормальное распределение широко распространено на практике, так как, согласно центральной предельной теореме, если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Рассмотрим пример системы, параметры которой можно описать нормальным распределением.

Предприятие изготовляет деталь заданного размера. Качество детали оценивается путем измерения ее размера. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а - Юмкм. Найдем вероятность того, что ошибка измерения не будет превышать 15 мкм.

По (10.49) находим

Для удобства использования рассмотренных распределений сведем полученные формулы в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1. Основные характеристики непрерывных распределений

Таблица 10.2. Производящие функции непрерывных распределений

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. Какие распределения вероятностей относят к непрерывным?
• 2. Что такое преобразование Лапласа-Стилтьеса? Для чего оно используется?
• 3. Как вычислить моменты случайных величин с использованием преобразования Лапласа-Стилтьеса?
• 4. Чему равно преобразование Лапласа суммы независимых случайных величин?
• 5. Как вычислить среднее время и дисперсию времени перехода системы из одного состояния в другое с использованием сигнальных графов?
• 6. Дайте основные характеристики равномерного распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
• 7. Дайте основные характеристики экспоненциального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
• 8. Дайте основные характеристики нормального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:

Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.

, , .

Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .

a=2, b=8, .

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .

Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

.

Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:

или (1)

Формула (1) называется формулой Бернулли .

Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:

Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .

Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:

, , .

Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

p=0,8 , q=0,2 , n=3 , , , .

- вероятность 0 попаданий;

Вероятность одного попадания;

Вероятность двух попаданий;

- вероятность трёх попаданий.

Получаем закон распределения:

Задачи

1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.

2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.

3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

• равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель	Раномерный закон распределения	Показательный закон распределения
Определение	Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид	Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
		где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb .
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

• математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

С помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже . А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!

Рассмотрим некоторый конечный промежуток, пусть для определённости это будет отрезок . Если случайная величина обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно . При этом функция плотности будет строго определённой:

И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж) составляет , то значение неизбежно равно – дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство :


Проверим его формально:
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка …, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)

Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями , а не значениями функции !

Рассмотрим типовое задание:

Пример 1

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти константу , вычислить и составить функцию распределения. Построить графики . Найти

Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать:)

Решение : так как на интервале (конечном промежутке) , то случайная величина имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле . Но лучше общим способом – с помощью свойства:

…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов;)

Таким образом, функция плотности:

Выполним чертёж. Значения невозможны , и поэтому жирные точки ставятся внизу:


В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника:
, ч.т.п.

Найдём математическое ожидание , и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней упаси, то в среднем его придётся ждать 5 минут.

Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка:
, как и предполагалось.

Дисперсию вычислим по формуле . И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла:

Таким образом, дисперсия :

Составим функцию распределения . Здесь ничего нового:

1) если , то и ;

2) если , то и:

3) и, наконец, при , поэтому:

В результате:

Выполним чертёж:


На «живом» промежутке функция распределения растёт линейно , и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная линейной функции – есть константа.

Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения:

либо с помощью определённого интеграла от плотности:

Кому как нравится.

И здесь ещё можно записать ответ : ,
, графики построены по ходу решения.

…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно;)

Для вычисления и равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:

Пример 2

Непрерывная случайная величина задана плотностью .

Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь) .

Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.

И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:

Пример 3

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.

Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.

Рассмотрим случайную величину – расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.

Составим функцию плотности распределения вероятностей:

1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале . Логично.

2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью может остановиться в любом месте между делениями* , включая сами деления, и поэтому на промежутке :

* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.

3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при тоже равна нулю.

Таким образом:

Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.

Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа или не далее чем на 0,04 от правого деления слева . На чертеже я заштриховал соответствующие площади:

Осталось найти эти площади с помощью интегралов . В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание;)

По теореме сложения вероятностей несовместных событий :

– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)

Легко видеть, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице.

Ответ : 0,4

В других источниках информации встречаются альтернативные объяснения / оформление этой задачи, и я выбрал вариант, который показался мне наиболее понятным. Особое внимание нужно обратить на то, что в условии речь может идти о погрешностях НЕ округлений, а о случайных погрешностях измерений, которые, как правило (но не всегда) , распределены по нормальному закону . Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл.

И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же автобусную остановку:

Пример 4

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины – времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения и пояснить её содержательный смысл.

Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1..gif" width="97" height="51">

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

И значит,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона

Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна

Fx(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

рx(x)=

Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.

Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

Fx(x)=P(x.gif" width="44" height="25"> случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция ..gif" width="200" height="51">

Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

§ 5. Пара непрерывных случайных величин

Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Совместной функцией распределения случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что .

Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?

Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин

Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .

Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Таким образом, мы получили ответ:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения

.

Найти функцию распределения и плотность распределения величин:

а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }

Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин

x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.

Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.

Вычислительные задачи.

Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке .

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения

Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна

.

Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность

Р (0,25

Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности

р(х) =.

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения

F(x) = P(x

Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна .
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти